《2025年学典四川七年级数学上册北师大版》

9. 正方体有6个面，8个顶点，12条棱，如图是一个棱长为3的正方体，则这个正方体的表面积是______；如果在这个正方体中截去一个棱长为1的小正方体，那么剩下部分的表面积是______.

答案： 54；54或58
解析：原表面积$6×3^2=54$。若截去小正方体在顶点处，表面积不变（54）；若在棱中间或面中间，表面积增加2或4（56或58），题目未明确位置，默认顶点处答案为54。

10. 正方体有6个面，8个顶点，12条棱，将图1中的正方体切去一块，不同的切法可以得到图2~图5中的几何体，它们各有多少个面？多少个顶点？多少条棱？

答案： 图2：7个面，10个顶点，15条棱；图3：7个面，9个顶点，14条棱；图4：7个面，8个顶点，13条棱；图5：7个面，7个顶点，12条棱
解析：根据欧拉公式$V-E+F=2$，结合图形数出：
- 图2（截去一个角）：F=7，V=10，E=15
- 图3（截去一条棱）：F=7，V=9，E=14
- 图4（截去一个面的小三角）：F=7，V=8，E=13
- 图5（截去一个三棱锥）：F=7，V=7，E=12

11. 有一个立方体，它的表面涂满了红色，在三个互不相对的面上各切两刀，得到27个小立方体（如图1），而且凡是切面都是白色. 问：
(1) 小立方体中三面红的有几块？两面红的呢？一面红的呢？没有红色的呢？
(2) 如果各切三刀（如图2），情况又怎样呢？
(3) 如果各切n刀呢？

答案：
(1)8；12；6；1
解析：27个小立方体（3×3×3）：三面红在顶点（8个），两面红在棱中间（12条棱×1=12），一面红在面中心（6面×1=6），无红在体心（1个）。
(2)8；24；24；8
解析：64个小立方体（4×4×4）：三面红8，两面红12×2=24，一面红6×4=24，无红8。
(3)三面红8；两面红$12(n-1)$；一面红$6(n-1)^2$；无红$(n-1)^3$
解析：各切n刀得$(n+1)^3$个小立方体，规律为：三面红8，两面红12(n-1)，一面红6(n-1)²，无红(n-1)³。

12. 直接写出得数：
(1)$1322-199=$______；
(2)$10÷\frac{1}{10}×10=$______；
(3)$\left(\frac{5}{7}+\frac{3}{8}\right)×56=$______；
(4)$1\frac{3}{4}÷$______$=75\%$.

答案：
(1)1123
解析：$1322-200+1=1123$
(2)1000
解析：$10×10×10=1000$
(3)61
解析：$\frac{5}{7}×56+\frac{3}{8}×56=40+21=61$
(4)$\frac{7}{3}$
解析：$1\frac{3}{4}÷75\%=\frac{7}{4}÷\frac{3}{4}=\frac{7}{3}$

13. 简便计算：
(1)$9+99+999+3$；
(2)$400-31-124-45$；
(3)$1-\left[\frac{1}{6}+\left(\frac{3}{4}-\frac{7}{12}\right)\right]$；
(4)$271×32-71×32$.

答案：
(1)1110
解析：$(9+1)+(99+1)+(999+1)=10+100+1000=1110$
(2)200
解析：$400-(31+124+45)=400-200=200$
(3)$\frac{1}{2}$
解析：$1-\left[\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right]=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$（原解析有误，修正：$\frac{3}{4}-\frac{7}{12}=\frac{9}{12}-\frac{7}{12}=\frac{1}{6}$，$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$，$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$）
(4)6400
解析：$(271-71)×32=200×32=6400$