《2025年学典四川七年级数学上册北师大版》

1. 对于任意整式A,B,定义$A※B = 2A + 3B$.
(1)求$(-3)※5$的值;
(2)先化简,再求值:$(2a - 3)※(a^{2}-a + 1)$,其中a满足$a^{2}+\frac{1}{3}a-\frac{10}{3}=0$.

答案： 1. （1）
已知$A※B = 2A + 3B$，当$A=-3$，$B = 5$时：
根据定义可得$(-3)※5=2×(-3)+3×5$。
先计算乘法：$2×(-3)=-6$，$3×5 = 15$。
再计算加法：$-6 + 15=9$。
2. （2）
首先化简$(2a - 3)※(a^{2}-a + 1)$：
因为$A※B = 2A + 3B$，这里$A = 2a-3$，$B=a^{2}-a + 1$，所以$(2a - 3)※(a^{2}-a + 1)=2(2a - 3)+3(a^{2}-a + 1)$。
去括号：$2(2a - 3)+3(a^{2}-a + 1)=4a-6 + 3a^{2}-3a + 3$。
合并同类项：$3a^{2}+(4a-3a)+(-6 + 3)=3a^{2}+a-3$。
然后由$a^{2}+\frac{1}{3}a-\frac{10}{3}=0$，等式两边同时乘以$3$得：
$3a^{2}+a - 10 = 0$，即$3a^{2}+a=10$。
最后把$3a^{2}+a = 10$代入$3a^{2}+a-3$得：
$10-3 = 7$。
综上，（1）$(-3)※5$的值为$9$；（2）$(2a - 3)※(a^{2}-a + 1)$化简求值的结果为$7$。

2. 我们将$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$这样的式子称为二阶行列式,它的运算法则公式是$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$,例如$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1×4 - 2×3=4 - 6=-2$.
(1)请你依此法则计算二阶行列式$\begin{vmatrix}3&-2\\4&3\end{vmatrix}$;
(2)请化简二阶行列式$\begin{vmatrix}2x - 3&x + 2\\2&4\end{vmatrix}$,并求当$x = 4$时二阶行列式的值.

答案： 1. （1）
根据二阶行列式运算法则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，对于$\begin{vmatrix}3&-2\\4&3\end{vmatrix}$：
这里$a = 3$，$b=-2$，$c = 4$，$d = 3$。
则$\begin{vmatrix}3&-2\\4&3\end{vmatrix}=3×3-(-2)×4$。
先计算乘法：$3×3 = 9$，$(-2)×4=-8$。
再计算减法：$9-(-8)=9 + 8=17$。
2. （2）
首先化简$\begin{vmatrix}2x - 3&x + 2\\2&4\end{vmatrix}$：
根据运算法则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，这里$a = 2x-3$，$b=x + 2$，$c = 2$，$d = 4$。
则$\begin{vmatrix}2x - 3&x + 2\\2&4\end{vmatrix}=4(2x - 3)-2(x + 2)$。
去括号：
根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$，$4(2x - 3)=4×2x-4×3 = 8x-12$，$2(x + 2)=2x + 4$。
所以$4(2x - 3)-2(x + 2)=8x-12-(2x + 4)$。
再去括号得$8x-12 - 2x-4$。
合并同类项：
对于$8x-12 - 2x-4=(8x-2x)+(-12 - 4)$。
即$6x-16$。
然后求当$x = 4$时的值：
把$x = 4$代入$6x-16$。
得$6×4-16$。
先计算乘法：$6×4 = 24$。
再计算减法：$24-16 = 8$。
综上，（1）$\begin{vmatrix}3&-2\\4&3\end{vmatrix}=17$；（2）化简结果为$6x - 16$，当$x = 4$时，值为$8$。

3. 定义一种新运算∇:对于任意有理数x和y,有$x∇y=mx - ny + xy$(m,n为常数且$mn≠0$),如:$2∇3 = 2m-3n + 2×3=2m - 3n + 6$.
(1)$\frac{2}{3}∇4=$_______;(用含m,n的代数式表示)
(2)若$\frac{2}{3}∇4 = 3$,求$1∇6$的值.

答案： 1. （1）
根据新运算$x∇y = mx−ny + xy$，当$x = \frac{2}{3}$，$y = 4$时：
$\frac{2}{3}∇4=\frac{2}{3}m−4n+\frac{2}{3}×4$。
化简可得$\frac{2}{3}∇4=\frac{2}{3}m−4n+\frac{8}{3}$。
2. （2）
因为$\frac{2}{3}∇4 = 3$，由（1）知$\frac{2}{3}m−4n+\frac{8}{3}=3$。
先对$\frac{2}{3}m−4n+\frac{8}{3}=3$进行整理：
方程两边同时乘以$3$得$2m−12n + 8 = 9$，移项可得$2m−12n=1$，两边同时除以$2$得$m - 6n=\frac{1}{2}$。
再求$1∇6$的值：
根据新运算$x∇y = mx−ny + xy$，当$x = 1$，$y = 6$时，$1∇6=m−6n+1×6$。
把$m - 6n=\frac{1}{2}$代入上式得：$1∇6=\frac{1}{2}+6$。
计算$\frac{1}{2}+6=\frac{1 + 12}{2}=\frac{13}{2}$。
综上，（1）$\frac{2}{3}m−4n+\frac{8}{3}$；（2）$\frac{13}{2}$。

4. 定义:对于数对$(a,b)$,若$a + b=ab$,则$(a,b)$称为“和积等数对”.如:∵$2 + 2=2×2$,$-3+\frac{3}{4}=-3×\frac{3}{4}$,∴$(2,2)$,$(-3,\frac{3}{4})$都是“和积等数对”.
(1)下列是“和积等数对”的是_______;
(填序号)
①$(3,1.5)$;②$(\frac{3}{4},1)$;③$(-\frac{1}{2},\frac{1}{3})$.
(2)若(-5，x)是“和积等数对”，求x的值；
(3)若(m，n)是“和积等数对”，求代数式4[mn+m-2(mn-3)]-2(m²-2n)+6m² 的值。

答案： 1. （1）
对于①：
已知$a = 3$，$b = 1.5$，计算$a + b$和$ab$的值。
$a + b=3 + 1.5=4.5$，$ab = 3×1.5 = 4.5$，因为$a + b=ab$，所以$(3,1.5)$是“和积等数对”。
对于②：
已知$a=\frac{3}{4}$，$b = 1$，计算$a + b$和$ab$的值。
$a + b=\frac{3}{4}+1=\frac{3 + 4}{4}=\frac{7}{4}$，$ab=\frac{3}{4}×1=\frac{3}{4}$，因为$a + b\neq ab$，所以$(\frac{3}{4},1)$不是“和积等数对”。
对于③：
已知$a=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{3}$，计算$a + b$和$ab$的值。
$a + b=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{-3 + 2}{6}=-\frac{1}{6}$，$ab=-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$，因为$a + b=ab$，所以$(-\frac{1}{2},\frac{1}{3})$是“和积等数对”。
故答案为①③。
2. （2）
解：因为$(-5,x)$是“和积等数对”，根据“和积等数对”的定义$a + b=ab$（这里$a=-5$，$b = x$），则$-5 + x=-5x$。
移项可得：$x + 5x=5$。
合并同类项得：$6x = 5$。
解得：$x=\frac{5}{6}$。
3. （3）
解：先化简代数式$4[mn + m-2(mn - 3)]-2(3m^{2}-2n)+6m^{2}$。
去括号：
$4(mn + m-2mn + 6)-6m^{2}+4n+6m^{2}$。
$4mn+4m-8mn + 24-6m^{2}+4n+6m^{2}$。
合并同类项：
$(4mn-8mn)+4m + 4n+( - 6m^{2}+6m^{2})+24$。
$-4mn+4m + 4n+24$。
因为$(m,n)$是“和积等数对”，所以$m + n=mn$。
将$m + n=mn$代入$-4mn+4m + 4n+24$中，得到$-4(m + n)+4(m + n)+24$。
计算$-4(m + n)+4(m + n)+24=( - 4 + 4)(m + n)+24$。
所以值为$24$。