《2025年学典四川七年级数学上册北师大版》

8. 某中学七年级A班有40人，某次活动中分为四组，第一组有$a$人，第二组的人数比第一组人数的一半多6，第三组的人数等于前两组人数的和。用含$a$的式子表示：
（1）第二组、第三组的人数；
（2）第一、二、三组的总人数；
（3）第四组的人数。

答案： （1）第二组：$\frac{a}{2} + 6$，第三组：$\frac{3a}{2} + 6$；（2）$2a + 12$；（3）$28 - 2a$
解析：（1）第二组$\frac{a}{2} + 6$，第三组$a + (\frac{a}{2} + 6) = \frac{3a}{2} + 6$。
（2）总人数$a + (\frac{a}{2} + 6) + (\frac{3a}{2} + 6) = 2a + 12$。
（3）第四组$40 - (2a + 12) = 28 - 2a$。

9. （1）若代数式$3x^{4}-2x^{3}+5x^{2}+kx^{3}+mx^{2}+4x + 5 - 7x$合并同类项后不含$x^{3}$和$x^{2}$的项，则$m^{k}=$______；
（2）已知代数式$\frac {x^{2}(ax^{5}+bx^{3}+cx)}{x^{4}+dx^{2}}$，当$x = 1$时，该代数式的值为1，则当$x=-1$时，该代数式的值是______。

答案： （1）1；（2）-1
解析：（1）$x^3$项系数：$-2 + k = 0$，$k = 2$；$x^2$项系数：$5 + m = 0$，$m = -5$，$m^k = (-5)^2 = 25$（原答案可能有误，应为25）。
（2）当$x = 1$时，$\frac{1×(a + b + c)}{1 + d} = 1$；$x = -1$时，$\frac{1×(-a - b - c)}{1 + d} = -1$。

10. （1）有理数$a$，$b$，$c$在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：$|b| - |c + b| + |c + a| + |b - a|$；
（2）若$(n - 1)x^{|m| - 1}y^{2}-(n - 2)xy^{2}+x^{2}+4$是关于$x$，$y$的四次三项式，求代数式$m^{n}-(m + n)^2 + 2$的值。

答案： （1）$2a$；（2）-2
解析：（1）由数轴得$b ＜ 0 ＜ c ＜ a$，$|b| = -b$，$|c + b| = -(c + b)$，$|c + a| = c + a$，$|b - a| = a - b$，原式$=-b + c + b + c + a + a - b = 2a + 2c - b$（需根据具体数轴位置调整，假设$c + b ＜ 0$，$c + a ＞ 0$，$b - a ＜ 0$）。
（2）四次三项式：$|m| - 1 + 2 = 4$，$|m| = 3$，$m = ±3$；$n - 2 = 0$，$n = 2$；$n - 1 ≠ 0$。代数式$m^2 - (m + 2)^2 + 2 = -4m - 2$，当$m = 3$时，值为-14；$m = -3$时，值为10（原答案可能有误，需根据题目条件进一步确认）。

11. 小王在数学学习中发现：$(1 + 2)÷3 = 1$，$(2 + 7)÷3 = 3$，$(3 + 3)÷3 = 2$，$(4 + 5)÷3 = 3$，……而12，27，33，45，…这样的自然数都能被3整除。猜想：如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除，并给出了当这个自然数为两位数时的说明：如果一个两位数的十位、个位上的数字分别是$a$，$b$，那么记这个两位数为$\overline{ab}$，于是$\overline{ab}=10a + b = 9a + (a + b)$，而$9a$能被3整除，因此如果$a + b$能被3整除，那么$9a + (a + b)$就能被3整除，即$\overline{ab}$能被3整除。据此回答下列问题：
（1）用含$a$，$b$，$c$的代数式表示三位数$\overline{abc}=$______；（其中$a$是百位数字，$b$是十位数字，$c$是个位数字）
（2）类比上述的过程，尝试说明：如果一个三位数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除。

答案： （1）$100a + 10b + c$；（2）见解析
解析：（1）三位数$\overline{abc} = 100a + 10b + c$。
（2）$100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c)$，$99a + 9b$能被9整除，若$a + b + c$能被9整除，则三位数能被9整除。