《2025年学典四川七年级数学上册北师大版》

9. (1)已知$m - n = 2,mn=-5$,求$3(mn - n)-(mn - 3m)$的值;

答案： 原式$=3mn - 3n - mn + 3m=2mn + 3(m - n)=2×(-5)+3×2=-10 + 6=-4$

(2)已知$a^2 + ab = 3,ab - b^2 = 6$,求$a^2 + 3ab - 2b^2$的值;

答案： 原式$=(a^2 + ab)+2(ab - b^2)=3 + 2×6=15$

(3)若$x + y = 2,-y + z=-4$,求$2x - y + 3z$的值.

答案： 由$z = y - 4$，原式$2x - y + 3(y - 4)=2x + 2y - 12=2(x + y)-12=4 - 12=-8$

10. 理解与思考:
在某次作业中有这样的一道题:“如果代数式$5a + 3b$的值为$-4$,那么代数式$2(a + b)+4(2a + b)$的值是多少?”
小明是这样解的:
解:原式$=2a + 2b + 8a + 4b = 10a + 6b$,把式子$5a + 3b=-4$两边同乘2,得$10a + 6b=-8$.
仿照小明的解题方法,完成下面的问题:
(1)如果$a^2 + a = 0$,那么$2a^2 + 2a + 2025=$______;
(2)已知$a - 2b=-3$,求$3(a - b)-7a + 11b + 5$的值;
(3)已知$a^2 + 2ab=-2,ab - b^2=-4$,求$2a^2+\frac{7}{2}ab+\frac{1}{2}b^2$的值.

答案： 1. （1）
因为$a^{2}+a = 0$，对于$2a^{2}+2a + 2025$，根据乘法分配律$2a^{2}+2a=2(a^{2}+a)$。
把$a^{2}+a = 0$代入$2(a^{2}+a)+2025$，得$2×0 + 2025=2025$。
2. （2）
解：先对$3(a - b)-7a + 11b + 5$进行化简：
$3(a - b)-7a + 11b + 5=3a-3b-7a + 11b + 5$。
合并同类项：$(3a-7a)+(-3b + 11b)+5=-4a + 8b+5$。
变形可得：$-4a + 8b+5=-4(a - 2b)+5$。
已知$a - 2b=-3$，把$a - 2b=-3$代入$-4(a - 2b)+5$得：
$-4×(-3)+5$。
先算乘法：$-4×(-3)=12$，再算加法：$12 + 5=17$。
3. （3）
解：已知$a^{2}+2ab=-2$，$ab - b^{2}=-4$。
对$2a^{2}+\frac{7}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}$进行变形：
$2a^{2}+\frac{7}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}=2(a^{2}+2ab)-\frac{1}{2}(ab - b^{2})$。
把$a^{2}+2ab=-2$，$ab - b^{2}=-4$代入$2(a^{2}+2ab)-\frac{1}{2}(ab - b^{2})$得：
$2×(-2)-\frac{1}{2}×(-4)$。
先算乘法：$2×(-2)=-4$，$\frac{1}{2}×(-4)=-2$。
再算减法：$-4-(-2)=-4 + 2=-2$。
综上，答案依次为：（1）$2025$；（2）$17$；（3）$-2$。

11. 阅读材料:
在合并同类项中,$5a - 3a + a=(5 - 3 + 1)a = 3a$,类似地,我们把$x + y$看成一个整体,则$5(x + y)-3(x + y)+(x + y)=(5 - 3 + 1)(x + y)=3(x + y)$.“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用:
(1)把$(x - y)^2$看成一个整体,合并$3(x - y)^2 - 6(x - y)^2 + 2(x - y)^2$的结果是______;
(2)已知$a^2 - 2b = 1$,求$-2a^2 + 4b + 3$的值;
(3)已知$a - 2b = 1$,$2b - c=-1$,$c - d = 2$,求$a - 6b + 5c - 3d$的值.

答案： 1. （1）
解：把$(x - y)^2$看成一个整体，根据合并同类项法则$3(x - y)^2-6(x - y)^2 + 2(x - y)^2=(3 - 6 + 2)(x - y)^2=- (x - y)^2$。
2. （2）
解：已知$a^{2}-2b = 1$。
对于$-2a^{2}+4b + 3$，变形可得$-2(a^{2}-2b)+3$。
把$a^{2}-2b = 1$代入$-2(a^{2}-2b)+3$中，根据代入法$-2×1 + 3=-2 + 3=1$。
3. （3）
解：已知$a - 2b = 1$，$2b - c=-1$，$c - d = 2$。
对$a - 6b + 5c - 3d$进行变形：
$a - 6b + 5c - 3d=(a - 2b)-4b + 5c - 3d$。
由$2b - c=-1$可得$4b-2c=-2$，即$-4b + 2c = 2$。
所以$a - 6b + 5c - 3d=(a - 2b)+(-4b + 2c)+3c - 3d$。
把$a - 2b = 1$，$-4b + 2c = 2$代入上式得$1+2+3c - 3d$。
又因为$c - d = 2$，则$3c - 3d = 3(c - d)=3×2 = 6$。
所以$a - 6b + 5c - 3d=1 + 2+6=9$。
综上，答案依次为：（1）$-(x - y)^2$；（2）$1$；（3）$9$。