《2025年新课程能力培养八年级数学上册北师大版》

5. (2024·包头) 如图是 1 个碗和 4 个整齐叠放成一摞的碗的示意图,碗的规格都是相同的。小亮尝试结合学习函数的经验,探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度 $ y \, (cm) $ 随着碗的数量 $ x $(个)的变化规律。下表是小亮经过测量得到的 $ y $ 与 $ x $ 之间的几组对应数据：
| 碗的数量 $ x/个 $ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 总高度 $ y/cm $ | 6 | 8.4 | 10.8 | 13.2 |

(1) 依据小亮测量的数据,写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式,并说明理由。
(2) 若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过 $ 28.8 \, cm $,求此时碗的数量最多为多少个。

答案： 解：（1）由表中的数据，x每增加1个，y的增加量均为2.4 cm，
∴y是x的一次函数。设y=kx+b，由题意，得$\left\{\begin{array}{l} k+b=6,\\ 2k+b=8.4\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=2.4,\\ b=3.6\end{array}\right. $
∴y与x之间的关系式为y=2.4x+3.6。（2）当y=28.8时，2.4x+3.6=28.8。解得x=10.5。
∵x取正整数，总高度不超过28.8 cm，
∴x的最大正整数解为10。答：碗的数量最多为10个。

6. (2023·淮安) 快车和慢车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,快车到达乙地卸装货物用时 $ 30 \, min $,结束后,立即按原路以另一速度匀速返回,直至与慢车相遇,已知慢车的速度为 $ 70 \, km/h $。两车之间的距离 $ y \, (km) $ 与慢车行驶的时间 $ x \, (h) $ 的函数图象如图所示。
(1) 请解释图中点 $ A $ 的实际意义。
(2) 求出图中线段 $ AB $ 所表示的函数表达式。
(3) 两车相遇后,如果快车以返回的速度继续向甲地行驶,求到达甲地还需多长时间。

答案： 解：（1）A点的实际意义是，出发3 h，快车到达乙地，此时快车与慢车相距120 km，即慢车距离乙地120 km。（2）
∵快车从甲地到乙地和卸货的时间共为$3+\frac {30}{60}=3.5$（h），此时两车之间的距离为$120-\frac {30}{60}×70=85$（km）。
∴点B的坐标为（3.5，85）。设线段AB所对应的函数表达式为y=kx+b，将A(3，120)，B(3.5，85)的坐标代入表达式中，得$\left\{\begin{array}{l} 3k+b=120,\\ 3.5k+b=85\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-70,\\ b=330\end{array}\right. $
∴线段AB所表示的函数表达式为y=-70x+330（3≤x≤3.5）。（3）快车从返回到遇见慢车所用的时间为4-3.5=0.5（h）。设快车从乙地返回甲地时的速度为v km/h，则0.5(v+70)=85。解得v=100。
∴4×70÷100=2.8（h）。答：两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需2.8 h。