《2025年新课程能力培养八年级数学上册北师大版》

8. 一个直角三角形的两条直角边长分别是$(\sqrt{3}+1)cm和(\sqrt{3}-1)cm$,求这个直角三角形的面积和周长。

答案： 8. 解：三角形的面积=$\frac{1}{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=\frac{1}{2}[(\sqrt{3})^{2}-1]=1$（$cm^2$）；直角三角形的斜边长=$2\sqrt{2}$ $cm$，三角形的周长=$2(\sqrt{3}+\sqrt{2})$ $cm$。答：直角三角形的面积是$1\ cm^2$，周长是$2(\sqrt{3}+\sqrt{2})\ cm$。

9. 判断下列各式是否成立：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}= 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$,$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}= 3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$,$\sqrt{4\dfrac{4}{15}}= 4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$。你能否由此归纳出什么结论？你还能找到其他类似的例子吗？

答案： 9. 解：都成立。规律：当带分数的整数部分与分数部分的分子相等，且分母为分子的平方减1时，这个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分与这个带分数分数部分的算术平方根的积，用代数式表示其基本规律是：对于一般的被开方数为$n+\frac{n}{n^2-1}$（$n\geq2$）的二次根式可推出：$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$（$n\geq2$）。如，若取$n=5$，有$\sqrt{5\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$。

10. 借助计算器求下列二次根式的值。
(1) $\sqrt{3^{2}+4^{2}}= $______；
(2) $\sqrt{33^{2}+44^{2}}= $______；
(3) $\sqrt{333^{2}+444^{2}}= $______；
(4) $\sqrt{3333^{2}+4444^{2}}= $______；
(5) 仔细观察上面各式的计算结果,试猜想$\sqrt{\underset{2025个3}{\underbrace{333…33^{2}}}+\underset{2025个4}{\underbrace{444…44^{2}}}}$的值为多少。

答案： 10.（1）5 （2）55 （3）555 （4）5555 （5）$\underbrace{555\cdots55}_{2025个5}$