《2025年新课程能力培养八年级数学上册北师大版》

*11. 对于平面直角坐标系中的任意一点 $ P(x, y) $,给出如下定义：如果 $ a = \frac{1}{2}x - 2 $, $ b = \frac{1}{2}y + 1 $,那么点 $ M(a, b) $ 就是点 $ P $ 的 “关联点”。例如,点 $ P(6, 2) $ 的 “关联点” 是点 $ M(1, 2) $。
(1) 求点 $ A(2, 1) $ 的 “关联点” 的坐标。
(2) 将点 $ C(m, n) $ 向下平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度后得到点 $ C'(m + 2, n - 3) $,如果点 $ C $ 与点 $ C' $ 的 “关联点” 互相重合,求点 $ C $ 的坐标。
(3) 设点 $ D(t, -2) $ 的 “关联点” 为点 $ D' $,连接 $ DD' $,若线段 $ DD' $ 与 $ y $ 轴有一个公共点,求出 $ t $ 的取值范围。

答案： 解：（1）
∵点A(2，1)，
∴点A的“关联点”是($\frac{1}{2}$×2-2，$\frac{1}{2}$×1+1)，即(-1，$\frac{3}{2}$)。（2）
∵C'(m+2，n-3)，
∴点C'的“关联点”是($\frac{1}{2}$(m+2)-2，$\frac{1}{2}$(n-3)+1)。
∵点C与点C'的“关联点”互相重合，
∴$\frac{1}{2}$(m+2)-2=m，$\frac{1}{2}$(n-3)+1=n。解得m=-2，n=-1。
∴点C的坐标为（-2，-1）。（3）设点D(t，-2)的“关联点”为点D'($\frac{1}{2}$t-2，0)。
∵线段DD'与y轴有一个公共点，
∴D，D'在y轴两侧，即点D，D'两个点的横坐标t，$\frac{1}{2}$t-2为异号。
∴当点D在y轴右侧时，即横坐标t＞0，只有当t＜4时，$\frac{1}{2}$t-2＜0成立，即点D'在y轴左侧，
∴0＜t＜4；当点D在y轴左侧时，即t＜0，此时$\frac{1}{2}$t-2＜0恒成立，
∴点D，D'均在y轴左侧，此时线段DD'与y轴没有公共点。
∴t的取值范围是0＜t＜4。

12. (2024·镇江) 点 $ A(1, y_1) $, $ B(2, y_2) $ 在一次函数 $ y = 3x + 1 $ 的图象上,则 $ y_1 $____(填 “＜” “=” 或 “＞”) $ y_2 $。

答案： ＜

13. (2024·包头) 在平面直角坐标系中,若一次函数的图象经过第一、二、三象限,请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：____。

答案： y=x+1（答案不唯一）

14. (2024·长春) 已知直线 $ y = kx + b $ ($ k $, $ b $ 是常数) 经过点 $ (1, 1) $,且 $ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而减小,则 $ b $ 的值可以是____(写出一个即可)。

答案： 2（答案不唯一）

15. (2024·长沙) 对于一次函数 $ y = 2x - 1 $,下列结论正确的是 ( )

A.它的图象与 $ y $ 轴交于点 $ (0, -1) $
B.$ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而减小
C.当 $ x ＞ \frac{1}{2} $ 时, $ y ＜ 0 $
D.它的图象经过第一、二、三象限

答案： A

16. (2024·临夏) 一次函数 $ y = kx - 1 $ ($ k \neq 0 $) 的函数值 $ y $ 随 $ x $ 值的增大而减小,则它的图象不经过的象限是 ( )

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A

17. (2024·通辽) 如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 与 $ y = k_2x + b_2 $ (其中 $ k_1k_2 \neq 0 $, $ k_1 $, $ k_2 $, $ b_1 $, $ b_2 $ 为常数) 的图象分别为直线 $ l_1 $, $ l_2 $。下列结论正确的是 ( )

A.$ b_1 + b_2 ＞ 0 $
B.$ b_1b_2 ＞ 0 $
C.$ k_1 + k_2 ＜ 0 $
D.$ k_1k_2 ＜ 0 $

答案： A