《2025年新课程能力培养八年级数学上册北师大版》

8. 如图,三个正比例函数的图象分别对应的表达式是：①$ y = ax $,②$ y = bx $,③$ y = cx $,下列表示 $ a $,$ b $,$ c $ 的不等关系正确的是( )

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ c ＜ a ＜ b $
C.$ c ＜ b ＜ a $
D.$ a ＜ c ＜ b $

答案： B

9. 已知正比例函数图象上一个点 $ A $ 到 $ x $ 轴的距离为 $ 4 $,点 $ A $ 的横坐标为$ - 2 $,请回答下列问题：
(1) 求这个正比例函数,并在平面直角坐标系中画出该函数的图象。
(2) 这个正比例函数 $ y $ 的值随着 $ x $ 值的增大是如何变化的？

答案： 解：（1）
∵正比例函数图象上一个点A到x轴的距离为4，这个点A的横坐标为-2，
∴A(-2，4)或(-2，-4)。设正比例函数表达式为$ y=kx $，则$ 4=-2k $或$ -4=-2k $。解得$ k=-2 $或$ k=2 $。故正比例函数表达式为$ y=2x $或$ y=-2x $。所画函数图象略。（2）当$ y=2x $时，正比例函数y的值随着x值的增大而增大；当$ y=-2x $时，正比例函数y的值随着x值的增大而减小。

10. 已知 $ y - 2 $ 与 $ 3x - 4 $ 成正比例关系,且当 $ x = 2 $ 时,$ y = 3 $。
(1) 写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(2) 若 $ y $ 的取值范围为 $ - 1 \leqslant y \leqslant 2 $,求 $ x $ 的取值范围。

答案： 解：（1）设$ y-2=k(3x-4) $，将$ x=2,y=3 $代入$ y-2=k(3x-4) $中，得$ 2k=1 $。解得$ k=\frac{1}{2} $。
∴$ y-2=\frac{1}{2}(3x-4) $，即$ y=\frac{3}{2}x $。（2）当$ y=-1 $时，$ x=-\frac{2}{3} $；当$ y=2 $时，$ \frac{3}{2}x=2 $，解得$ x=\frac{4}{3} $。
∴$ -\frac{2}{3}\leq x\leq \frac{4}{3} $。

11. (2024·天津) 若正比例函数 $ y = kx $($ k $ 是常数,$ k \neq 0 $)的图象经过第一、三象限,则 $ k $ 值可能是______(写出一个即可)。

答案： 2（答案不唯一）

12. (2024·山西) 已知点 $ A(x_1, y_1) $,$ B(x_2, y_2) $ 都在正比例函数 $ y = 3x $ 的图象上,若 $ x_1 ＜ x_2 $,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系是( )

A.$ y_1 ＞ y_2 $
B.$ y_1 ＜ y_2 $
C.$ y_1 = y_2 $
D.$ y_1 \geqslant y_2 $

答案： B

13. (2024·内江) 如图,在平面直角坐标系中,$ AB \perp y $ 轴,垂足为点 $ B $,将 $ \triangle ABO $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转到 $ \triangle AB_1O_1 $ 的位置,使点 $ B $ 的对应点 $ B_1 $ 落在直线 $ y = - \frac{3}{4}x $ 上,再将 $ \triangle AB_1O_1 $ 绕点 $ B_1 $ 逆时针旋转到 $ \triangle A_1B_1O_2 $ 的位置,使点 $ O_1 $ 的对应点 $ O_2 $ 也落在直线 $ y = - \frac{3}{4}x $ 上,如此下去,…$ $,若点 $ B $ 的坐标为 $ (0, 3) $,则点 $ B_{37} $ 的坐标为( )

A.$ (180, 135) $
B.$ (180, 133) $
C.$ (-180, 135) $
D.$ (-180, 133) $

答案： C 提示：将$ y=3 $代入$ y=-\frac{3}{4}x $，得$ x=-4 $。
∴点$ A(-4,3) $。
∴$ OB=3 $，$ AB=4 $，由勾股定理，得$ OA=5 $。
∴$ C_{\triangle OAB}=3+4+5=12 $。由旋转方式知，点$ B_{2n-1} $在直线$ y=-\frac{3}{4}x $上。
∵$ OB_{1}=5+4=9 $，$ OB_{3}=9+12 $，$ OB_{5}=9+2× 12 $，…，
∴$ OB_{2n-1}=9+12(n-1)=12n-3 $。令$ 2n-1=37 $，解得$ n=19 $。
∴$ 12n-3=12× 19-3=225 $，即$ OB_{37}=225 $。令点$ B_{37}(m,-\frac{3}{4}m)(m＜0) $，
∴$ m^{2}+(-\frac{3}{4}m)^{2}=225^{2} $。解得$ m=-180 $。
∴$ -\frac{3}{4}m=135 $。
∴点$ B_{37} $的坐标为$ (-180,135) $。