《2025年新课程能力培养八年级数学上册北师大版》

10. 在平面直角坐标系中,直线 $l$ 为第一、三象限角平分线,点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点称为 $P$ 的一次反射点,记作 $P_1$；点 $P_1$ 关于直线 $l$ 的对称点称为点 $P$ 的二次反射点,记作 $P_2$。
例如：如图,点 $P(-2,5)$ 的一次反射点为 $P_1(2,5)$,二次反射点为 $P_2(5,2)$。根据定义,回答下列问题：
(1) 分别写出点 $(1,3)$ 的一次反射点和二次反射点的坐标。
(2) 已知点 $A$ 在第三象限,在点 $M(-4,1)$,$N(3,-1)$,$Q(-1,-5)$ 中,有一个点是点 $A$ 的二次反射点,请你确定是哪一点,并写出点 $A$ 的坐标。
(3) 点 $B$ 在第二象限,射线 $OB$ 与 $y$ 轴正半轴所夹锐角的度数为 $30°$,点 $B_1$,$B_2$ 分别是点 $B$ 的一次、二次反射点,求 $\angle B_1OB_2$ 的度数。

答案： 解：（1）一次反射点为$(-1,3)$，二次反射点为$(3,-1)$。（2）当点A在第三象限时，一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限。
∵点$M(-4,1)$，$N(3,-1)$，$Q(-1,-5)$关于直线l的反射点分别为$M_{1}(1,-4)$，$N_{1}(-1,3)$，$Q_{1}(-5,-1)$，而$M_{1}$，$N_{1}$，$Q_{1}$关于y轴的对称点分别为$(-1,-4)$，$(1,3)$，$(5,-1)$，
∴$M(-4,1)$是点A的二次反射点。点A的坐标为$(-1,-4)$。（3）
∵点B在第二象限，
∴点$B_{1}$在第一象限。连接$BB_{1}$，$B_{1}B_{2}$，$BB_{1}$交y轴正半轴于点D，$B_{1}B_{2}$交直线l于点E。
∵$\angle BOD=30°$，
∴$\angle B_{1}OD=\angle BOD=30°$。
∴$\angle B_{1}OE=\angle B_{2}OE=\angle DOE-\angle B_{1}OD=45°-30°=15°$。
∴$\angle B_{1}OB_{2}=2\angle B_{1}OE=2×15°=30°$。

11. (2023·成都) 在平面直角坐标系 $xOy$ 中,点 $P(5,-1)$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标是______。

答案： (-5,-1)

12. (2023·湘西) 在平面直角坐标系中,已知点 $P(a,1)$ 与点 $Q(2,b)$ 关于 $x$ 轴对称,则 $a+b= $______。

答案： 1

13. (2024·通辽) 剪纸是我国民间艺术之一,如图所示的剪纸作品的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合,则点 $A(-4,2)$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标为 ( )

A.$(-4,-2)$
B.$(4,-2)$
C.$(4,2)$
D.$(-2,-4)$

答案： C