《2025年新课程能力培养八年级数学上册北师大版》

12. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 8$,$BC = 16$,点$P从点B出发沿射线BC$方向以每秒2个单位长度的速度向右运动。设点$P的运动时间为t$,连接$AP$。
(1) 当$t = 3s$时,求$AP$的长度(结果保留根号)。
(2) 当$\triangle ABP$为等腰三角形时,求$t$的值。

答案： 12. 解：（1）根据题意，得$BP=2t$，$PC=16-2t$。当$t=3$时，$16-2×3=10$。在$Rt\triangle APC$中，
∵$AC=8$，$PC=10$，
∴由勾股定理，得$AP=\sqrt{AC^{2}+PC^{2}}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$。
∴AP 的长为$2\sqrt{41}$。（2）在$Rt\triangle ABC$中，$AC=8$，$BC=16$，由勾股定理，得$AB=\sqrt{64+256}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}$。若$BA=BP$，则$2t=8\sqrt{5}$，解得$t=4\sqrt{5}$；若$AB=AP$，则$BP=2BC=32$，
∴$2t=32$，解得$t=16$；若$PA=PB$，则$(2t)^{2}=(16-2t)^{2}+8^{2}$，解得$t=5$。答：当$\triangle ABP$为等腰三角形时，t 的值为$4\sqrt{5}$或 16 或 5。

13. 请仔细阅读下面两个小组“比较$\sqrt{5}+\sqrt{6}与\sqrt{11}$的大小”的思考过程,并完成相应解答任务。
“善思小组”的思路：将$\sqrt{5}+\sqrt{6}$,$\sqrt{11}$两个式子分别平方后,再进行比较。
“智慧小组”的思路：以$\sqrt{5}$,$\sqrt{6}$,$\sqrt{11}为三边构造一个\triangle ABC$,再利用三角形的三边关系进行比较。
解答任务：
(1) 计算：$(\sqrt{5}+\sqrt{6})^{2}$。
(2) ①判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；②直接判断$\sqrt{5}+\sqrt{6}与\sqrt{11}$的大小。
(3) 延伸拓展：判断$2\sqrt{3}+\sqrt{6}与3\sqrt{3}$的大小。

答案： 13. 解：（1）$(\sqrt{5}+\sqrt{6})^{2}=5+2×\sqrt{5}×\sqrt{6}+6=11+2\sqrt{30}$。（2）①$\triangle ABC$是直角三角形。理由：
∵$(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{6})^{2}=(\sqrt{11})^{2}$，
∴$\triangle ABC$是直角三角形。②
∵三角形任意两边之和大于第三边，
∴$\sqrt{5}+\sqrt{6}＞\sqrt{11}$。（3）
∵$(2\sqrt{3}+\sqrt{6})^{2}=18+12\sqrt{2}$，$(3\sqrt{3})^{2}=27$，$\sqrt{2}＞1$，
∴$18+12\sqrt{2}＞30$。
∴$2\sqrt{3}+\sqrt{6}＞3\sqrt{3}$。

14. (2024·淄博) 计算：$\sqrt{27}-2\sqrt{3} = $______。

答案： 14. $\sqrt{3}$

15. (2024·济宁) 下列运算正确的是( )

A.$\sqrt{2}+\sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{2}×\sqrt{5} = \sqrt{10}$
C.$2÷\sqrt{2} = 1$
D.$\sqrt{(-5)^{2}} = -5$

答案： 15. B

16. (2024·内蒙古) 实数$a$,$b$在数轴上的对应位置如图所示,则$\sqrt{(a - b)^{2}}-(b - a - 2)$的化简结果是( )

A.$2$
B.$2a - 2$
C.$2 - 2b$
D.$-2$

答案： 16. A