《2025年新课程能力培养八年级数学上册北师大版》

4. 如图,一架梯子 $AB$ 斜靠在一竖直的墙 $OC$ 上,$AO = 2.4\ m$,$BO = 0.7\ m$,$AO \perp OB$。
(1) 求梯子 $AB$ 的长度。
(2) 当梯子的顶端 $A$ 下滑 $0.9\ m$ 时,求梯子的底端向外移动的距离。

答案：
解：（1）
∵AO⊥BO，
∴∠AOB=90°。
∴△AOB为直角三角形。在Rt△AOB中，由勾股定理，可得AB²=AO²+BO²=2.4²+0.7²=6.25。
∴AB=2.5 m。
∴梯子AB的长度为2.5 m。
(2) 如图，由题意可知，AE=0.9 m。
∵AO=2.4 m，
∴EO=AO - AE=1.5（m），ED=AB=2.5 m。在Rt△DOE中，由勾股定理，可得OD²=ED² - EO²=2.5² - 1.5²=4。
∴OD=2。
∴BD=OD - OB=2 - 0.7=1.3（m）。

答：梯子的底端向外移动的距离为1.3 m。

5. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90°$,$AC = 4$,$BC = 6$,$D$ 是 $BC$ 的中点,$E$ 是 $AC$ 边上一点,连接 $DA$,$DE$。将 $\triangle DCE$ 沿直线 $DE$ 翻折,点 $C$ 恰好落在 $DA$ 上的点 $F$ 处。求 $AD$,$CE$ 的长。

答案： 解：
∵BC=6，D是BC的中点，
∴CD= $\frac{1}{2}$BC=3。在Rt△ACD中，AD²=AC²+CD²=4²+3²=25。
∴AD=5。
∵将△CDE沿DE翻折，点C落在AD上的点F处，
∴DF=CD=3，EF=CE，∠EFD=∠ECD=90°。
∴AF=AD - DF=2，∠AFE=90°。设CE=x，则EF=x，AE=AC - CE=4 - x。在Rt△AFE中，由勾股定理，可得（4 - x）²=x²+2²，解得x= $\frac{3}{2}$。
∴CE=1.5。

6. (2024·吉林)图 1 中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图 2,其中 $AB = AB'$,$AB \perp B'C$ 于点 $C$,$BC = 0.5$ 尺,$B'C = 2$ 尺。设 $AC$ 的长度为 $x$ 尺,可列方程为______。

答案： x²+2²=(x+0.5)²