《2025年新课程能力培养八年级数学上册北师大版》

5. 已知正比例函数y= kx经过点P(1,2),如图所示。
(1)求这个正比例函数的表达式。
(2)将这个正比例函数的图象(直线OP)向下平行移动4个单位长度,点P移动到P',点O移动到O',写出点P'和O'的坐标和直线P'O'对应的函数表达式。

答案： 解：（1）由于点P(1，2)在直线 y=kx上，可得这个正比例函数表达式为y=2x。（2）由题意知P'(1，-2)，O'(0，-4)。设函数表达式为y= 2x+b，则b=-4，
∴表达式为y=2x-4。

6. 在平面直角坐标系中,一次函数y= kx+b(k,b都是常数,且k≠0)的图象经过点(1,0)和(0,2)。
(1)当-2＜x≤3时,求y的取值范围。
(2)已知点P(m,n)在该函数的图象上,且m-n= 4,求点P的坐标。

答案： 解：（1）将（1，0），（0，2）代入y=kx+b，得b=2，k+b=0，解得k=-2，b=2，
∴这个函数的表达式为y=-2x+2。把 x=-2代入y=-2x+2，得y=6；把x=3代入y=-2x+2，得 y=-4。
∴y的取值范围是-4≤y＜6。（2）
∵点P(m，n) 在该函数的图象上，
∴n=-2m+2。
∵m-n=4，
∴m-(-2m+ 2)=4。解得m=2，n=-2。
∴点P的坐标为（2，-2）。

7. 某食用油的沸点远高于水的沸点。小聪想用刻度不超过100℃的温度计测算出这种食用油的沸点,在老师的指导下,他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热,并每隔10s测量一次锅中油温,得到的数据记录如下：
|时间t/s|0|10|20|30|40|……|
|油温y/℃|10|30|50|70|90|……|

(1)小聪在平面直角坐标系中描出了表中数据对应的点。经老师介绍,在这种食用油达到沸点前,锅中油温y(℃)与加热的时间t(s)符合某种函数关系,求y关于t的函数表达式。

(2)当加热110s时,油沸腾了,请推算这种食用油的沸点。

答案： 解：（1）根据题图可知，时间每增加10 s，油的温度就升高20 ℃，则锅中油温y与加热的时间t之间可能是一次函数关系。设y关于t的函数表达式为y= kt+b（k≠0）。将x=0，y=10，x=10，y=30分别代入表达式，得b=10，10k+b=30，
∴k=2。
∴y=2t+10。
∵表格中其他组t与y的对应值均满足该表达式，
∴y关于t的函数表达式为y=2t+10。（2）当t=110时，y=2×110+10=230，
∴这种食用油的沸点是230 ℃。