《2025年新课程能力培养八年级数学上册北师大版》

3. 如图是由边长为 $1$ 的小正方形组成的方格图。
(1) 请在方格图中建立平面直角坐标系,使点 $A$ 的坐标为 $(3,3)$,点 $B$ 的坐标为 $(-1,0)$。
(2) 在 $x$ 轴上画点 $C$,使 $\triangle ABC$ 成为以 $AB$ 为腰的等腰三角形,并写出所有满足条件的点 $C$ 的坐标。(要求标出点 $C$ 的位置)

答案： 解：（1）略。（2）以 AB 为腰的等腰三角形有△ABC₁，△ABC₂，△ABC₃，其中点 C 的坐标分别为 C₁(-6，0)，C₂(4，0)，C₃(7，0)。

4. 一个质点在第一象限及 $x$ 轴、$y$ 轴上运动,在第 $1s$,它从原点运动到 $(0,1)$,然后接着按图中箭头所示方向运动 [即 $(0,0)\to(0,1)\to(1,1)\to(1,0)…\to$ ],且每秒移动 $1$ 个单位长度,那么第 $99s$ 时质点所在位置的坐标是多少？请写出推理过程。

答案： 解：坐标为（9，0）。理由：用表格列出质点的运动规律：
运动时间/s
3=2²-1
8=3²-1
15=4²-1
24=5²-1
…
所在位置坐标
(1，0)
(0，2)
(3，0)
(0，4)
…
由表格可知，当运动时间为（n²-1）s 时，若 n 为偶数，则位于点（n-1，0）；若 n 为奇数，则位于点（0，n-1）。
∵99=10²-1，
∴第 99 s 时质点所在位置的坐标是（9，0）。

5. 在平面直角坐标系中,对于 $P$,$Q$ 两点给出如下定义：若点 $P$ 到 $x$,$y$ 轴的距离中的最大值等于点 $Q$ 到 $x$,$y$ 轴的距离中的最大值,则称 $P$,$Q$ 两点为“等距点”。如图中的 $P$,$Q$ 两点即为“等距点”。
(1) 已知点 $A$ 的坐标为 $(-3,1)$。
①在点 $E(0,3)$,$F(3,-3)$,$G(2,-5)$ 中,判断点 $A$ 的“等距点”有哪些点；
②若点 $B$ 的坐标为 $B(m,m + 6)$,且 $A$,$B$ 两点为“等距点”,求点 $B$ 的坐标。
(2) 若 $T_1(-1,-k - 3)$,$T_2(4,4k - 3)$ 两点为“等距点”,求 $k$ 的值。

答案： 解：（1）①
∵点 A（-3，1）到 x，y 轴的距离中的最大值为 3，
∴与点 A 是“等距点”的点是 E，F。②点 B 到 x，y 轴的距离中至少有一个为 3 的点有（3，9），（-3，3），（-9，-3），这些点中与是点 A 的“等距点”的是（-3，3）。（2）
∵T₁（-1，-k-3），T₂（4，4k-3）两点为“等距点”，则分下列两种情况：①若|4k-3|≤4 时，则 4=-k-3 或-4=-k-3，解得 k=1 或 k=-7（舍去）；②若|4k-3|＞4 时，则|4k-3|=|-k-3|，解得 k=2 或 k=0（舍去）。综上所述，k 的值是 1 或 2。

6. (2023·衢州) 在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系,若点 $A$ 的坐标为 $(0,1)$,点 $B$ 的坐标为 $(2,2)$,则点 $C$ 的坐标为______。

答案： （1，3）