《2025年新课程能力培养八年级数学上册北师大版》

3. 快车从甲地驶向乙地,慢车从乙地驶向甲地,两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶,途中快车休息 $ 1.5 \, h $,慢车没有休息。设慢车行驶的时间为 $ x \, h $,快车行驶的路程为 $ y_1 \, km $,慢车行驶的路程为 $ y_2 \, km $。如图中折线 $ OAEC $ 表示 $ y_1 $ 与 $ x $ 之间的函数关系,线段 $ OD $ 表示 $ y_2 $ 与 $ x $ 之间的函数关系。
请解答下列问题：
(1) 求快车和慢车的速度。
(2) 求图中线段 $ EC $ 所表示的 $ y_1 $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(3) 线段 $ OD $ 与线段 $ EC $ 相交于点 $ F $,求出点 $ F $ 的坐标,并解释点 $ F $ 的实际意义。

答案： 解：（1）$v_{快}=\frac {180}{2}=90$（km/h），$v_{慢}=\frac {180}{3}=60$（km/h）。
∴快车的速度为90 km/h，慢车的速度为60 km/h。（2）由题意，得点E的横坐标为2+1.5=3.5，则点E的坐标为（3.5，180）。快车从点E到点C用的时间为$\frac {360-180}{90}=2$（h），则点C的坐标为（5.5，360）。设线段EC所表示的y₁与x之间的关系式为y₁=kx+b，根据题意，得$\left\{\begin{array}{l} 3.5k+b=180,\\ 5.5k+b=360\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=90,\\ b=-135\end{array}\right. $
∴线段EC所表示的y₁与x之间的关系式是y₁=90x-135（3.5≤x≤5.5）。（3）由题意知，OD所表示的关系式为y=60x。由图象知，线段OD与线段EC交于点F。设点F的坐标为（a，b），则$\left\{\begin{array}{l} b=60a,\\ b=90a-135\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=4.5,\\ b=270\end{array}\right. $
∴点F的坐标为（4.5，270），点F代表的实际意义是在4.5 h时，快车与慢车行驶的路程相等。

4. 如图是一种单肩包,其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成。小李购买时,售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和,其中调节扣所占长度忽略不计)加长或缩短,设双层部分的长度为 $ x \, cm $,单层部分的长度为 $ y \, cm $。经测量,得到表中的数据。
| 双层部分长度 $ x/cm $ | 2 | 8 | 14 | 20 |
| 单层部分长度 $ y/cm $ | 148 | 136 | 124 | 112 |

(1) 根据表中数据规律,求出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(2) 按小李的身高和习惯,背带的长度调为 $ 130 \, cm $ 时为最佳背带长度。请计算此时双层部分的长度。
(3) 设背带长度为 $ L \, cm $,求 $ L $ 的取值范围。

答案： 解：（1）由表中数据可知，x每增加6 cm，y均减少12 cm，
∴y是x的一次函数。设y与x之间的关系式为y=kx+b，由题意，得$\left\{\begin{array}{l} 2k+b=148,\\ 8k+b=136\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-2,\\ b=152\end{array}\right. $
∴y与x之间的关系式为y=-2x+152。（2）根据题意，得$\left\{\begin{array}{l} x+y=130,\\ y=-2x+152\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=22,\\ y=108\end{array}\right. $
∴双层部分的长度为22 cm。（3）由题知，当x=0时，y=152，当y=0时，x=76。
∴76≤L≤152。