《2025年新课程能力培养八年级数学上册北师大版》

5. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB = 3\mathrm{cm}$,$AD = 4\mathrm{cm}$,$BC = 13\mathrm{cm}$,$CD = 12\mathrm{cm}$,且$\angle A = 90^{\circ}$。求四边形 $ABCD$ 的面积。

答案：
解：如图，连接 BD，由勾股定理得 BD=5 cm。又
∵BC=13 cm，CD=12 cm，
∴BD²+CD²=25+144=169=13²=BC²，由勾股定理逆定理得△BCD 是直角三角形，
∴S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BDC=36 cm²。

6. 如图,在$\triangle ABC$ 中,$AB = 10$,$BC = 12$,$AD$ 为 $BC$ 边上的中线,且 $AD = 8$,过点 $D$ 作$DE\perp AC$于点 $E$。请求出线段 $DE$ 的长。

答案： 解：
∵BC=12，AD 为 BC 边上的中线，
∴BD=DC=1/2 BC=6。在△ABD 中，BD²+AD²=6²+8²=100=AB²，
∴△ABD 为直角三角形。
∴∠ADB=90°。
∴∠ADC=∠ADB=90°。又
∵BD=DC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD。
∴AC=AB=10。
∵S△ADC=1/2 AD·DC=1/2 AC·DE，即 1/2 ×8×6=1/2 ×10×DE，
∴DE=4.8。

7. 已知$\triangle ABP$ 在正方形网格中的位置如图所示(点 $A$,$B$,$P$ 是网格线交点),求$\angle PAB+\angle PBA$ 的度数。(要求说明理由)

答案：
解：∠PAB+∠PBA=45°。如图，延长 AP 交格点于点 D，连接 BD，则 PD²=BD²=1²+2²=5，PB²=1²+3²=10。
∴PD=BD，PD²+DB²=PB²。
∴∠PDB=90°。
∴∠DPB=45°。
∴∠APB=180°-∠DPB=135°。
∴∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=180°-135°=45°。

8. (2023·南通)勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数,世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》。现有勾股数 $a$,$b$,$c$,其中 $a$,$b$ 均小于 $c$,$a = \frac{1}{2}m^{2}-\frac{1}{2}$,$c = \frac{1}{2}m^{2}+\frac{1}{2}$,$m$ 是大于 $1$ 的奇数,则 $b = $____(用含 $m$ 的式子表示)。

答案： m

9. (2023·济宁)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是 $1$个单位长度,点 $A$,$B$,$C$,$D$,$E$ 均在小正方形的顶点上,线段 $AB$,$CD$交于点 $F$,若$\angle CFB = \alpha$,则$\angle ABE$ 等于( )

A.$180^{\circ}-\alpha$
B.$180^{\circ}-2\alpha$
C.$90^{\circ}+\alpha$
D.$90^{\circ}+2\alpha$

答案： C