《2025年新课程能力培养八年级数学上册北师大版》

7. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$ 三个顶点的坐标分别为 $A (-1,5)$,$B (-1,0)$,$C(-4,3)$。
(1) 在图中作出 $\triangle ABC$ 关于 $y$ 轴的对称图形 $\triangle A_1B_1C_1$,并写出各顶点坐标。
(2) $A$,$B$,$C$ 三点坐标与对应点 $A_1$,$B_1$,$C_1$ 的坐标有什么关系？
(3) 求出 $\triangle ABC$ 的面积。

答案： 解：（1）图形略，$A_{1}(1,5)$，$B_{1}(1,0)$，$C_{1}(4,3)$。（2）横坐标互为相反数，纵坐标相等。（3）$\frac{15}{2}$。

8. 如图,$\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 是关于 $y$ 轴对称的两个三角形,且点 $D$ 的纵坐标是 $5$。
(1) 建立平面直角坐标系,写出 $\triangle ABC$ 各顶点的坐标。
(2) 将 $\triangle ABC$ 各顶点的横坐标不变,纵坐标变成相反数,再将所得的各个点用线段依次连接起来,画出图形,观察所得的图形与原图形相比有什么变化。
(3) 求出 $\triangle ABC$ 中 $AC$ 边上的高。

答案： 解：（1）图形略，$A(2,5)$，$B(2,3)$，$C(4,1)$。（2）图形略，关于x轴对称。（3）$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

9. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $l$ 过点 $A$ 且平行于 $x$ 轴,交 $y$ 轴于点 $D (0,1)$,已知 $AD= 5$,$\triangle ABC$ 关于直线 $l$ 对称。
(1) 求点 $A$ 的坐标。
(2) 若点 $C$ 的坐标为 $(-2,-2)$,判断 $\triangle ABC$ 的形状,并说明理由。

答案：
解：（1）
∵直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点$D(0,1)$，$AD=5$，
∴点A的坐标为$(-5,1)$。（2）$\triangle ABC$为等腰直角三角形。理由：如图，设直线l与BC交于点E，
∵$\triangle ABC$关于直线l对称，
∴$BE=CE$，$AB=AC$，$BC\perp AD$。
∴$\angle AEB=\angle AEC=90°$。
∵点C的坐标为$(-2,-2)$，
∴点E的坐标为$(-2,1)$。
∴$BE=AE=CE=3$。
∴$\angle CAE=\angle C=45°$，$\angle BAE=\angle B=45°$。
∴$\angle BAC=\angle BAE+\angle CAE=90°$。
∴$\triangle ABC$为等腰直角三角形。