《2025年新课程能力培养八年级数学上册北师大版》

*11. 两个含有二次根式且非零的代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,那么这两个代数式互为有理化因式。例如：$\sqrt{2}×\sqrt{2}= 2$,$(\sqrt{3}+1)×(\sqrt{3}-1)= 2$,我们称$\sqrt{2}和\sqrt{2}$互为有理化因式,$\sqrt{3}+1和\sqrt{3}-1$互为有理化因式。如果一个代数式的分母中含有二次根式,通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式,使分母中不含根号,这种变形叫作分母有理化。如$\dfrac{2}{\sqrt{2}}= \sqrt{2}$,$\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}= \sqrt{3}+1$。与分母有理化类似,如果一个代数式的分子中含有二次根式,通常可将分子、分母同乘分子的有理化因式,使分子中不含根号,这种变形叫作分子有理化。如$\sqrt{3}-\sqrt{2}= \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$。
(1) 分别写出$\sqrt{5}$,$2-\sqrt{3}$的有理化因式。(写出一个即可)
(2) 利用分母有理化化简：$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+…+\dfrac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}$。

(3) 利用分子有理化比较$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}和\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$($n\geqslant2$)的大小。

答案： 11. 解：（1）$\sqrt{5}$，$2+\sqrt{3}$ （2）原式=$\sqrt{2025}-1=45-1=44$。（3）$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$，$\because\sqrt{n+1}＞\sqrt{n-1}$，$\therefore\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$。

12. (2024·威海)计算：$\sqrt{12}-\sqrt{8}×\sqrt{6}= $______。

答案： 12. $-2\sqrt{3}$

13. (2024·甘南州)已知$x$,$y$为实数,若满足$y= \sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+2$,则$x^{y}$的值为( )

A.$5$
B.$6$
C.$8$
D.$9$

答案： 13. D

14. (2024·重庆)已知$m= \sqrt{27}-\sqrt{3}$,则实数$m$的范围是( )

A.$2\lt m\lt3$
B.$3\lt m\lt4$
C.$4\lt m\lt5$
D.$5\lt m\lt6$

答案： 14. B

15. (2024·德阳)将一组数$\sqrt{2}$,$2$,$\sqrt{6}$,$2\sqrt{2}$,$\sqrt{10}$,$2\sqrt{3}$,…,$\sqrt{2n}$,…,按如图所示方式进行排列,则第八行左起第1个数是( )


A.$7\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$\sqrt{58}$
D.$4\sqrt{7}$

答案： 15. C

16. (2024·兰州)计算：$\sqrt{27}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}×\sqrt{8}$。

答案： 16. $\sqrt{3}$