《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

13.下列计算错误的是 ( )

A.$(-x^{2}y)^{2}÷(-2xy)= -\frac{1}{2}x^{3}y$
B.$-(a+b)^{2}÷(a+b)= a+b$
C.$(6x^{4}-5x^{2}+3x)÷(-3x)= -2x^{3}+\frac{5}{3}x-1$
D.$(3x^{2}y-3xy^{2}+x)÷x= 3xy-3y^{2}+1$

答案： B

14.已知$10^{m}= 20$,$10^{n}= \frac{1}{5}$,则$9^{m}÷3^{2n}$的值为______.

答案： 因为$10^m = 20$，$10^n=\frac{1}{5}$，所以$10^m÷10^n=10^{m - n}=20÷\frac{1}{5}=100=10^2$，则$m - n = 2$。
$9^m÷3^{2n}=(3^2)^m÷3^{2n}=3^{2m}÷3^{2n}=3^{2m - 2n}=3^{2(m - n)}$。
将$m - n = 2$代入，得$3^{2×2}=3^4 = 81$。
81

15.已知$(a^{m}b^{n})^{3}÷(a^{2}b^{3})^{a}= a^{6}b^{9}$,则$m+n$的值为______.

答案： 答案略

16.已知$2^{x}= 3$,$3^{y}= 2$,则$6^{x+y}·2^{x-y}÷3^{x+y}$的值为______.

答案： $6^{x+y}·2^{x-y}÷3^{x+y}$
$=(2×3)^{x+y}·2^{x-y}÷3^{x+y}$
$=2^{x+y}·3^{x+y}·2^{x-y}÷3^{x+y}$
$=2^{x+y}·2^{x-y}$
$=2^{(x+y)+(x-y)}$
$=2^{2x}$
$=(2^x)^2$
$=3^2$
$=9$
9

17.小明在做一道多项式除以$\frac{1}{2}a$的题时,由于粗心,算成了乘$\frac{1}{2}a$,结果是$8a^{4}b-4a^{3}+2a^{2}$,则正确的结果是______.

答案： 设原多项式为$M$。
因为小明误将除以$\frac{1}{2}a$算成乘以$\frac{1}{2}a$，结果是$8a^{4}b - 4a^{3} + 2a^{2}$，所以$M × \frac{1}{2}a = 8a^{4}b - 4a^{3} + 2a^{2}$。
则$M=(8a^{4}b - 4a^{3} + 2a^{2}) ÷ \frac{1}{2}a$
$=(8a^{4}b ÷ \frac{1}{2}a) + (-4a^{3} ÷ \frac{1}{2}a) + (2a^{2} ÷ \frac{1}{2}a)$
$=16a^{3}b - 8a^{2} + 4a$。
正确结果为$M ÷ \frac{1}{2}a=(16a^{3}b - 8a^{2} + 4a) ÷ \frac{1}{2}a$
$=16a^{3}b ÷ \frac{1}{2}a - 8a^{2} ÷ \frac{1}{2}a + 4a ÷ \frac{1}{2}a$
$=32a^{2}b - 16a + 8$。
32a²b - 16a + 8

18.如图,某新建高铁站广场前有一块长为$(3a+b)$米,宽为$(a+3b)$米的长方形空地,计划在中间留一个长方形喷泉(图中阴影部分),喷泉四周留有宽度均为b米的人行通道.
(1)请用含a,b的式子表示长方形空地的面积并化简；
(2)请用含a,b的式子表示喷泉的面积并化简；
(3)喷泉建成后,需给人行通道铺上地砖方便旅客通行,若每块地砖的面积是$\frac{1}{10}b$平方米,则刚好铺满不留缝隙,求需要这样的地砖多少块.

答案：
(1)长方形空地的面积为：
$(3a+b)(a+3b)$
$=3a^2 + 9ab + ab + 3b^2$
$=3a^2 + 10ab + 3b^2$（平方米）。
(2)喷泉的长为：
$(3a+b)-2b=3a-b$（米），
喷泉的宽为：
$(a+3b)-2b=a+b$（米），
喷泉的面积为：
$(3a-b)(a+b)$
$=3a^2 + 3ab - ab - b^2$
$=3a^2 + 2ab - b^2$（平方米）。
(3)人行通道的面积等于长方形空地的面积减去喷泉的面积，即：
$(3a^2 + 10ab + 3b^2) - (3a^2 + 2ab - b^2)$
$=3a^2 + 10ab + 3b^2 - 3a^2 - 2ab + b^2$
$=8ab + 4b^2$（平方米），
需要的地砖块数为：
$(8ab + 4b^2) ÷ \frac{1}{10}b$
$=(8ab + 4b^2) × \frac{10}{b}$
$=80a + 40b$（块）。

19.阅读下面材料：
因为$(x+3)(x-2)= x^{2}+x-6$,所以$(x^{2}+x-6)÷(x-2)= x+3$.这说明$x^{2}+x-6能被x-2$整除,同时也说明多项式$x^{2}+x-6有一个因式为x-2$.另外,当$x= 2$时,多项式$x^{2}+x-6$的值为0.
回答下列问题：
(1)已知关于x的多项式M,当$x= k$时,M的值为0,则多项式M与$x-k$的关系是______.
(2)①已知$x-3能整除x^{2}+kx-15$,则k的值为______；
②已知$x+4$能整除二次三项式N,N的二次项系数为1,且当$x= 3$时,二次三项式N的值为0,则二次三项式$N= $______.

答案：
(1)多项式$M$能被$x - k$整除。
(2)①设$x^{2}+kx - 15=(x - 3)(x + a)=x^{2}+(a - 3)x - 3a$，
则$-3a=-15$，解得$a = 5$，
所以$k=a - 3=2$。
②设$N=(x + 4)(x + b)=x^{2}+(b + 4)x + 4b$，
因为当$x = 3$时，$N = 0$，所以$9+3(b + 4)+4b=0$，
$9 + 3b+12 + 4b=0$，$7b=-21$，解得$b=-3$，
所以$N=x^{2}+x - 12$。
故答案依次为：
(1)多项式$M$能被$x - k$整除；
(2)①$2$；②$x^{2}+x - 12$。