《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

8. 如图,在△ABC中,∠C= 90°.
(1)写出图中AC,BC边上的高;
(2)画出AB边上的高CD;
(3)在(2)的条件下,若BC= 5,AC= 12,AB= 13,则CD的长为______.

答案：
(1)在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，所以$AC$边上的高是$BC$，$BC$边上的高是$AC$。
(2)过点$C$作$CD\perp AB$于点$D$，$CD$就是$AB$边上的高。
(3)根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为这条底对应的高）。
以$AC$为底，$BC$为高时，$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC$；以$AB$为底，$CD$为高时，$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD$。
所以$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，已知$BC = 5$，$AC = 12$，$AB = 13$，代入可得：
$\frac{1}{2}×12×5=\frac{1}{2}×13× CD$
$CD=\frac{12×5}{13}=\frac{60}{13}$
故答案为：
(1)$AC$边上的高是$BC$，$BC$边上的高是$AC$；
(2)见上述作图步骤；
(3)$\frac{60}{13}$。

9. 若线段AD,AE分别是△ABC的边BC上的中线和高线,则 ( )

A.AD≥AE
B.AD＞AE
C.AD≤AE
D.AD＜AE

答案： A

10. 如图,在△ABC中,点D,E,F分别是BC,AD,EC的中点.若△ABC的面积是40,则△BEF的面积是______.
【变式】如图,在△ABC中,点D在边BC上,BD= 2,CD= 3,则S△ABD:S△ACD= ______.

答案： 10.
∵D是BC中点，S△ABC=40，
∴S△ABD=S△ACD=20。
∵E是AD中点，
∴S△ABE=S△BDE=10，S△ACE=S△CDE=10。
∴S△BEC=S△BDE+S△CDE=20。
∵F是EC中点，
∴S△BEF=1/2 S△BEC=10。
【变式】
∵△ABD与△ACD高相等，
∴S△ABD:S△ACD=BD:CD=2:3。
10. 10
【变式】2:3

11. 如图,将△ABC折叠,点C落在点C'处,给出下列说法:①甲折出的AD是BC边上的高;②乙折出的AD是△ABC的角平分线;③丙折出的AD是BC边上的中线;④丙折出的AD是△ABC的角平分线.其中正确的有______.(填序号)

答案： ①甲图中，折叠后点C落在BC上的C'处，折痕AD⊥BC，故AD是BC边上的高，①正确；
②乙图中，折叠后点C落在AB上的C'处，折痕AD使得∠CAD=∠C'AD=∠BAD，故AD平分∠BAC，是△ABC的角平分线，②正确；
③丙图中，折叠后点C与点B重合，折痕AD使得BD=DC，故D为BC中点，AD是BC边上的中线，③正确；
④丙图中，仅折叠使B与C重合只能得到AD是中线，无法得出AD平分∠BAC，④错误。
正确的有①②③。
①②③

12. 已知AD是△ABC的高,∠BAD= 72°,∠CAD= 21°,则∠BAC的度数是______.

答案： 情况一：AD在△ABC内部
∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 72° + 21° = 93°
情况二：AD在△ABC外部
∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 72° - 21° = 51°
93°或51°

13. 在△ABC中,AC= 2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,则AC和AB的长分别为______.

答案： AC长为48，AB长为28

14. 在△ABC中,AB= AC,BG⊥AC于点G,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
(1)如图①,点D是BC边的中点,则DE+DF和BG之间的数量关系为______.
(2)如图②,点D是BC边上任意一点,(1)中DE+DF和BG之间的数量关系是否仍然成立?若成立,证明你的结论;若不成立,请说明理由.
(3)如图③,点D是BC的延长线上一点,(1)中DE+DF和BG之间的数量关系是否仍然成立?若成立,证明你的结论;若不成立,请写出DE,DF和BG之间的数量关系,并说明理由.

答案：
(1) DE+DF=BG
证明：连接AD，
∵AB=AC，D是BC中点，
S△ABC=S△ABD+S△ACD，
S△ABC=1/2·AC·BG，S△ABD=1/2·AB·DE，S△ACD=1/2·AC·DF，
∵AB=AC，
∴1/2·AC·BG=1/2·AB·DE+1/2·AC·DF，即BG=DE+DF.
(2) 成立，DE+DF=BG
证明：连接AD，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
S△ABC=1/2·AC·BG，S△ABD=1/2·AB·DE，S△ACD=1/2·AC·DF，
∵AB=AC，
∴1/2·AC·BG=1/2·AB·DE+1/2·AC·DF，即BG=DE+DF.
(3) 不成立，DE-DF=BG
证明：连接AD，S△ABD=S△ABC+S△ACD，
S△ABD=1/2·AB·DE，S△ABC=1/2·AC·BG，S△ACD=1/2·AC·DF，
∵AB=AC，
∴1/2·AB·DE=1/2·AC·BG+1/2·AC·DF，即DE=BG+DF，
∴DE-DF=BG.