《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,在△ABC中,∠A= 60°,BD,CE是△ABC的两条角平分线.求证:BC= CD+BE.

答案： 证明：在BC上截取BF=BE，连接OF。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=β。
在△BOE和△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l} BE=BF \\ ∠OBE=∠OBF \\ BO=BO\end{array}\right.$
∴△BOE≌△BOF(SAS)，
∴∠BOE=∠BOF。
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°。
∵BD，CE是角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=60°，
∴∠BOC=180°-60°=120°，
∴∠BOE=180°-∠BOC=60°，
∴∠BOF=∠BOE=60°，
∴∠FOC=∠BOC-∠BOF=60°。
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=γ。
在△FOC和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠FCO=∠DCO \\ OC=OC \\ ∠FOC=∠DOC=60°\end{array}\right.$
∴△FOC≌△DOC(ASA)，
∴FC=CD。
∵BC=BF+FC，BF=BE，FC=CD，
∴BC=BE+CD，即BC=CD+BE。
结论：BC=CD+BE。

2.(1)如图①,AD//BC,∠D= 90°,AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,则AD,BC,AB之间有何数量关系? 请说明理由.
(2)如图②,若将(1)中的∠D= 90°去掉,其余条件均不变,则上述结论还成立吗? 请说明理由.

答案：
(1) $AD + BC = AB$。
理由：
过点$E$作$EF\perp AB$于点$F$。
因为$AD// BC$，$\angle D = 90^{\circ}$，$AE$平分$\angle BAD$，$BE$平分$\angle ABC$，
所以$DE = EF$，$EF = CE$，$\angle 2=\angle 3$，$\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3=\angle 4$。
在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle AFE$中，
$\begin{cases}AE = AE\\DE = EF\end{cases}$
所以$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle AFE(HL)$，
则$AD = AF$。
同理可得$BC = BF$。
因为$AB=AF + BF$，
所以$AD + BC = AB$。
(2) 上述结论仍然成立。
理由：
过点$E$作$EF\perp AB$于点$F$，作$EG\perp AD$交$AD$的延长线于点$G$，作$EH\perp BC$于点$H$。
因为$AE$平分$\angle BAD$，$BE$平分$\angle ABC$，
所以$EG = EF$，$EF = EH$，$\angle 2=\angle 3$，$\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3=\angle 4$。
则$EG = EH$。
在$Rt\triangle AEG$和$Rt\triangle AFE$中，
$\begin{cases}AE = AE\\EG = EF\end{cases}$
所以$Rt\triangle AEG\cong Rt\triangle AFE(HL)$，
则$AD+DG=AF$。
同理可得$BC - HC = BF$。
因为$DG = EF = EH = HC$，
所以$AD + BC=(AF - DG)+(BF + HC)=AF + BF$，
即$AD + BC = AB$。