《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

5. 如图,在四边形$ABCD$中,点$E是边BC$上一点,且$BE= CD$,$\angle B= \angle AED= \angle C$.求证：$\angle EAD= \angle EDA$.

答案： 证明：
设∠B=∠AED=∠C=α，
∵点E在BC上，
∴∠AEB+∠AED+∠DEC=180°，
∴∠AEB+∠DEC=180°-α.
在△ABE中，∠BAE+∠B+∠AEB=180°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠AEB=180°-α-∠AEB，
∴∠BAE=∠DEC（等量代换）.
在△ABE和△ECD中，
∠B=∠C，
BE=CD，
∠BAE=∠DEC，
∴△ABE≌△ECD（ASA），
∴AE=ED，
∴∠EAD=∠EDA（等边对等角）.

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= CA$,$AB＞BC$,点$D在BC$边上,$CD= 2BD$,点$E$,$F在线段AD$上,$\angle BED= \angle CFD= \angle BAC$.若$\triangle ABC$的面积为15,求$\triangle ACF与\triangle BDE$的面积之和.

答案：
∵AB=CA，
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB。设∠BAC=α，则∠ABC=∠ACB=(180°-α)/2=90°-α/2。
∵∠BED=∠CFD=∠BAC=α，∠BED是△ABE外角，
∴∠BED=∠BAE+∠ABE，即α=β+∠ABE（设∠BAE=β），得∠ABE=α-β。
同理，∠CFD是△AFC外角，∠CFD=∠CAF+∠ACF，即α=γ+∠ACF（设∠CAF=γ），得∠ACF=α-γ。
∵∠BAC=α=β+γ，
∴∠ABE=γ，∠ACF=β。
在△ABE和△CAF中：
AB=CA（已知），
∠BAE=β=∠ACF，
∠ABE=γ=∠CAF，
∴△ABE≌△CAF（ASA），故S△ACF=S△ABE。
∵E在AD上，
∴S△ABE+S△BDE=S△ABD。
∵CD=2BD，
∴BD=BC/3，△ABD与△ABC同高，S△ABD=S△ABC/3=15/3=5。
∴S△ACF+S△BDE=S△ABD=5。
5

7. 如图,$CB= AC$,$E$,$F是直线CD$上的两点,且$\angle BEC= \angle CFA= \alpha$.
(1) 如图①,直线$CD经过\angle ACB$的内部,且$0^\circ＜\angle ACB＜180^\circ$,则当$\alpha与\angle ACB$有何数量关系时,$BE= CF$？请说明理由.
(2) 如图②,直线$CD在\angle ACB$的外部,若$\alpha=\angle ACB$,则线段$EF$,$BE$,$AF$之间的数量关系为______.

答案：
(1) 当$\alpha + \angle ACB = 180^\circ$时，$BE = CF$。理由如下：
$\because \angle BEC = \angle CFA = \alpha$，$\alpha + \angle ACB = 180^\circ$，
$\therefore \angle EBC + \angle BCE = 180^\circ - \alpha = \angle ACB$。
又$\angle ACB = \angle ACF + \angle BCE$，$\therefore \angle EBC = \angle ACF$。
在$\triangle BEC$和$\triangle CFA$中，
$\begin{cases} \angle BEC = \angle CFA \\\angle EBC = \angle FCA \\BC = AC \end{cases}$
$\therefore \triangle BEC \cong \triangle CFA(AAS)$，$\therefore BE = CF$。
(2) $EF = BE + AF$