《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

8. 如图,点P为∠AOB内一定点,点M,N分别是射线OA,OB上的动点,当△PMN的周长最小时,∠MPN= 80°. 则∠AOB的度数是______.

答案： 50°

9. 如图,点P是四边形ABCD内一点,分别在边AB,BC上作出点M,N,使PM+PN+MN的值最小.

答案： 本题可根据轴对称的性质，通过作点$P$关于$AB$、$BC$的对称点，利用两点之间线段最短来确定点$M$、$N$的位置。
步骤一：作点$P$关于$AB$、$BC$的对称点
作点$P$关于$AB$的对称点$P_1$。
作点$P$关于$BC$的对称点$P_2$。
步骤二：连接$P_1P_2$，分别与$AB$、$BC$交于点$M$、$N$
根据轴对称的性质可知：
$PM = P_1M$，$PN = P_2N$。
所以$PM + PN + MN = P_1M + MN + P_2N = P_1P_2$。
步骤三：得出结论
此时$PM + PN + MN$的值最小，即点$M$、$N$分别为$P_1P_2$与$AB$、$BC$的交点时，$PM + PN + MN$的值最小。
综上，作出点$P$关于$AB$、$BC$的对称点$P_1$、$P_2$，连接$P_1P_2$，分别与$AB$、$BC$的交点即为所求的点$M$、$N$。

10. 八年级(2)班举行元旦文艺晚会,桌子摆成两条线段(图中的OA,OB),OA桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C处的小花先拿橘子再拿糖果,然后送给D处的小红,最后回到C处. 请你帮助她设计一条行走路线,使其所走的总路程最短.

活动三 造桥选址问题

答案： 1. 作点$C$关于直线$OA$的对称点$C_1$，作点$D$关于直线$OB$的对称点$D_1$。
2. 连接$C_1D_1$，分别交$OA$于点$M$，交$OB$于点$N$。
3. 连接$CM$、$DN$。
4. 则小花行走的路线为$C→M→N→D→C$，此路线所走的总路程最短。

11. 如图,在P,Q两村之间有两条河,且两条河的宽度相同,从P村前往Q村,要经过两座桥EF,MN. 现在要设计一条道路,并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的桥,请你设计这两座桥EF,MN的位置,使由P村到Q村的路程最短,在图上标出道路和桥的位置.

答案： 1. 过点P沿第一条河河岸的垂线方向向下平移河宽d，得到点P'；
2. 过点Q沿第二条河河岸的垂线方向向上平移河宽d，得到点Q'；
3. 连接P'Q'，分别交第一条河的下河岸于点F，交第二条河的上河岸于点M；
4. 过点F作第一条河河岸的垂线，交第一条河的上河岸于点E，EF即为第一座桥；
5. 过点M作第二条河河岸的垂线，交第二条河的下河岸于点N，MN即为第二座桥；
6. 路径为P→E→F→M→N→Q。

12. 如图,某条护城河在CC'处直角转弯,从A处到达B处,需经过两座桥(桥宽不计,桥与河垂直),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,恰当地造桥可使从A到B的路程最短,请确定两座桥的位置.

答案： 1. 将点A沿竖直方向（垂直于水平护城河方向）向下平移桥长（河宽）至点A'；
2. 将点B沿水平方向（垂直于竖直护城河方向）向左平移桥长（河宽）至点B'；
3. 连接A'B'，分别交水平护城河的南岸于点D，交竖直护城河的东岸于点E；
4. 过点D作垂直于水平护城河的桥CD（C为北岸桥头），过点E作垂直于竖直护城河的桥EF（F为西岸桥头）。
则桥CD和桥EF即为所求位置。