《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

5. 在等腰三角形ABC中,AB= AC,∠BAC= α,且BD平分∠ABC,交AC于点D.
(1)如图①,当α= 90°时,求证:AB+AD= BC.
(2)如图②,当α= 108°时,求证:AB+CD= BC.(用两种方法证明)

答案：
(1)证明：在BC上截取BE=AB，连接DE。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD。
在△ABD和△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}AB=BE\\ \angle ABD=\angle EBD\\ BD=BD\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBD(SAS)。
∴AD=ED，∠BAD=∠BED=90°。
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=45°。
在△DEC中，∠DEC=180°-∠BED=90°，∠EDC=180°-∠DEC-∠C=45°=∠C，
∴ED=EC。
∴AD=EC。
∵BC=BE+EC，
∴BC=AB+AD。
(2)方法一：在BC上截取BE=AB，连接DE。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD。
在△ABD和△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}AB=BE\\ \angle ABD=\angle EBD\\ BD=BD\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBD(SAS)。
∴AD=ED，∠BAD=∠BED=108°。
∴∠DEC=180°-∠BED=72°。
∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠C=(180°-108°)/2=36°。
在△DEC中，∠EDC=180°-∠DEC-∠C=72°=∠DEC，
∴CD=EC。
∵BC=BE+EC，
∴BC=AB+CD。
方法二：在BC上截取CF=CD，连接DF。
∵CF=CD，∠C=36°，
∴∠CFD=∠CDF=(180°-36°)/2=72°，∠DFB=180°-72°=108°=∠BAC。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠FBD=18°。
在△ABD和△FBD中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BAD=\angle BFD\\ \angle ABD=\angle FBD\\ BD=BD\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△FBD(AAS)。
∴AB=BF。
∵BC=BF+FC，CF=CD，
∴BC=AB+CD。

6. 如图,在△ABC中,∠BAC= 75°,∠C= 35°,点D是AC上一点,且BD= CD,∠BAC的平分线AE交BC于点E.求证:AD+BD= AB+BE.(用两种方法证明)

答案： 方法一（补短法）
∵BD=CD，
∴AD+BD=AD+CD=AC，即证AC=AB+BE.
延长AB至F，使BF=BE，连接EF.
∵BF=BE，
∴∠F=∠BEF.
∵∠ABC=70°，
∴∠EBF=180°-∠ABC=110°，
∴∠F=(180°-110°)/2=35°.
∵∠C=35°，
∴∠F=∠C.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE.
在△AFE和△ACE中，∠F=∠C，∠FAE=∠CAE，AE=AE，
∴△AFE≌△ACE(AAS).
∴AF=AC.
∵AF=AB+BF=AB+BE，
∴AC=AB+BE.
又
∵AD+BD=AC，
∴AD+BD=AB+BE.
方法二（截长法）
∵BD=CD，
∴AD+BD=AD+CD=AC，即证AC=AB+BE.
在AC上截取AG=AB，连接EG.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠GAE.
在△ABE和△AGE中，AB=AG，∠BAE=∠GAE，AE=AE，
∴△ABE≌△AGE(SAS).
∴BE=GE，∠ABE=∠AGE=70°.
在△ABE中，∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-37.5°-70°=72.5°，
∴∠AEG=∠AEB=72.5°.
∠AEC=180°-∠AEB=107.5°，
∴∠GEC=∠AEC-∠AEG=107.5°-72.5°=35°.
∵∠C=35°，
∴∠GEC=∠C，
∴GE=GC.
∵GE=BE，
∴GC=BE.
∵AC=AG+GC=AB+BE，
∴AD+BD=AB+BE.