《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90^\circ$,$AB= AC$,$D$,$E是BC$边上的两点,且$\angle DAE= 45^\circ$,过点$B作BF\perp BC$,且$BF= CD$,连接$AF$,$EF$。给出下列结论：① $BE= CD$；② $\angle BAF= \angle CAD$；③ $\angle FAE= \angle DAE$；④ $EF= ED$。其中正确的有( )


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： C

2. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB= AD$,$\angle BAD= 90^\circ$,点$E$,$F分别在BC$,$CD$上,$\angle EAF= 45^\circ$。若$\angle B$,$\angle ADC$都是直角,延长$CD到点G$,使$DG= BE$,连接$AG$,猜想线段$EF$,$BE$,$DF$之间的数量关系,并证明。

答案： 猜想：$EF=BE+DF$。
证明：
$\because \angle ADC=90^\circ$，延长$CD$到点$G$，
$\therefore \angle ADG=180^\circ-\angle ADC=90^\circ$，
又$\angle B=90^\circ$，$\therefore \angle B=\angle ADG$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ADG$中，
$\begin{cases} AB=AD \\ \angle B=\angle ADG \\ BE=DG \end{cases}$，
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle ADG(SAS)$，
$\therefore AE=AG$，$\angle BAE=\angle DAG$。
$\because \angle BAD=90^\circ$，$\angle EAF=45^\circ$，
$\therefore \angle BAE+\angle DAF=\angle BAD-\angle EAF=45^\circ$，
$\because \angle BAE=\angle DAG$，
$\therefore \angle DAG+\angle DAF=45^\circ$，即$\angle GAF=45^\circ$，
$\therefore \angle EAF=\angle GAF$。
在$\triangle EAF$和$\triangle GAF$中，
$\begin{cases} AE=AG \\ \angle EAF=\angle GAF \\ AF=AF \end{cases}$，
$\therefore \triangle EAF \cong \triangle GAF(SAS)$，
$\therefore EF=GF$。
$\because GF=GD+DF$，且$GD=BE$，
$\therefore EF=BE+DF$。
结论：$EF=BE+DF$。

3. (1)如图①,在四边形$ABCD$中,$AB= AD$,$\angle BAD= 60^\circ$,$\angle ABC= \angle ADC= 90^\circ$,点$E$,$F分别在线段BC$,$CD$上,且$\angle EAF= 30^\circ$,连接$EF$,则线段$BE$,$EF$,$DF$之间的数量关系为______。
(2)如图②,当点$E$,$F分别在线段BC$,$CD$的延长线上时,其他条件不变,请探究线段$BE$,$EF$,$FD$之间的数量关系。

答案：
(1) EF=BE+DF
(2) EF=BE-DF