《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图①是某月的月历,小刚用如图②所示的方框在图中框出4个数,将框中相对的两数相乘,再相减,计算其得到的结果.例如:$8×10-2×16= 48$;$19×21-13×27= 48$.
【基础探究】(1)它们的结果有什么规律? 请你再选择一个类似的部分试一试,看一看是否符合这个规律?
【深入探究】(2)设最上面的数为a,请用含a的代数式表示b,c,d,并利用整式的运算对以上规律加以证明.
【变式探究】(3)小艾用如图③所示的方框在图中框出4个数,试用整式的运算说明$ad-bc$是一个定值,并求出这个定值.

答案： 基础探究（1）
规律：结果都等于48。
举例：框出上数为9，左数15，下数23，右数17，计算得$15×17 - 9×23 = 255 - 207 = 48$，符合规律。
深入探究（2）
用含$a$的代数式表示：$b = a + 6$，$c = a + 14$，$d = a + 8$。
证明：
$ \begin{aligned} b×d - a×c &= (a + 6)(a + 8) - a(a + 14) \\ &= a^2 + 8a + 6a + 48 - (a^2 + 14a) \\ &= a^2 + 14a + 48 - a^2 - 14a \\ &= 48 \end{aligned} $
变式探究（3）
设左上角数为$a$，则$b = a + 1$，$c = a + 7$，$d = a + 8$。
$\begin{aligned}ad - bc &= a(a + 8) - (a + 1)(a + 7) \\&= a^2 + 8a - (a^2 + 7a + a + 7) \\&= a^2 + 8a - a^2 - 8a - 7 \\&= -7\end{aligned}$
故$ad - bc$是定值，定值为$-7$。
答案
（1）结果都等于48，举例见解析；（2）$b = a + 6$，$c = a + 14$，$d = a + 8$，证明见解析；（3）定值为$-7$。

2. 【问题背景】
(1)①观察下列一位数的乘积:$1×9,2×8,... ,8×2,9×1$.其中每个式子中两个数的和为10,推测在这些式子中,乘积最大的算式为______.(只需填符合的算式,不需要算出结果)
②观察下列两位数的乘积:$11×19,12×18,... ,18×12,19×11$.其中每个式子中两个数的和为30,推测在这些式子中,乘积最大的算式为______.(只需填符合的算式,不需要算出结果)
【初步探讨】(2)根据上述问题,你能发现结果有什么规律? 请用本章的知识证明你发现的规律.
【实践应用】(3)小磊要制作一个三角形钢架模型,其中长为a(a为正整数)的边与这条边上的高之和为11,则这个三角形的最大面积为多少? 并求出此时a的值.

答案：
(1)①$5 × 5$
②$15 × 15$
(2)规律：若两正数和为定值，当两数相等时，两数乘积最大。
证明：设两正数$x$，$y$，和为定值$m$，即$x + y = m$，则$y = m - x$，
两数乘积$S = x(m - x)=-x^{2}+mx$，
对于二次函数$y=-x^{2}+mx$，其二次项系数$-1\lt0$，图象开口向下，对称轴为$x =-\frac{m}{2×(-1)}=\frac{m}{2}$，
所以当$x = y=\frac{m}{2}$时，$S$有最大值。
(3)设长为$a$的边上的高为$h$，则$a + h = 11$，$h = 11 - a$，
三角形面积$S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}a(11 - a)=-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{11}{2}a$，
对于二次函数$y =-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{11}{2}a$，其二次项系数$-\frac{1}{2}\lt0$，图象开口向下，对称轴为$a =-\frac{\frac{11}{2}}{2×(-\frac{1}{2})}=\frac{11}{2}=5.5$，
因为$a$为正整数，当$a = 5$时，$h = 6$，$S=\frac{1}{2}×5×6 = 15$；当$a = 6$时，$h = 5$，$S=\frac{1}{2}×6×5 = 15$。
所以这个三角形的最大面积为$15$，此时$a$的值为$5$或$6$。