《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1.【教材P17习题T9】如图,在△ABC中,∠A= 100°,∠1= ∠2,∠3= ∠4.求x的值.

答案： 解：
因为$\angle A = 100^\circ$，根据三角形内角和定理，$\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$。
因为$\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3 = \angle 4$，所以$\angle 2 + \angle 4 = \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = \frac{1}{2} × 80^\circ = 40^\circ$。
在$\triangle BPC$中，$\angle x = 180^\circ - (\angle 2 + \angle 4) = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$。
所以$\angle x$的值为$140^\circ$。

2. 如图①,在△ABC中,∠A= 80°,∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点$A_1,$则$∠A_1= ______°;$如图$②,∠A_1BC$的平分线与$∠A_1CD$的平分线交于点$A_2,∠A_2BC$的平分线与$∠A_2CD$的平分线交于点$A_3,$则$∠A_3= ______°.$

答案： $\because\angle ACD$是$\triangle ABC$的外角。
$\therefore\angle ACD=\angle A+\angle ABC$，即：$\angle A=\angle ACD-\angle ABC$。
$\because\angle A_1CD$是$\triangle A_1BC$的外角。
$\therefore\angle A_1CD=\angle A_1+\angle A_1BC$，
即：$\angle A_1=\angle A_1CD-\angle A_1BC$。
$\because CA_1$平分$\angle ACD$，$BA_1$平分$\angle ABC$。
$\therefore\angle A_1CD=\frac{1}{2}\angle ACD$，$\angle A_1BC=\frac{1}{2}\angle ABC$。
$\therefore\angle A_1=\frac{1}{2}\angle ACD-\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}(\angle ACD-\angle ABC)=\frac{1}{2}\angle A$。
$\because\angle A=80^\circ$。
$\therefore\angle A_1=\frac{1}{2}\angle A=40^\circ$。
$\because\angle A_2=\frac{1}{2}\angle A_1=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}\angle A=\frac{1}{2^2}\angle A$，
$\angle A_3=\frac{1}{2}\angle A_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2^2}\angle A=\frac{1}{2^3}\angle A$。
$\therefore\angle A_3=\frac{1}{2^3}×80^\circ=10^\circ$。
故答案为$40$；$10$。

3. 如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,∠ACB的外角∠ACF的平分线所在的直线与∠ABC的平分线相交于点D,与∠ABC的外角∠CBM的平分线相交于点E.给出下列结论:
①∠BOC= 90°+$\frac{1}{2}$∠A;②∠D= $\frac{1}{2}$∠A;③∠E= ∠A;④∠E+∠DCF= 90°+∠ABD.
其中一定正确的是______. (填序号)

答案： ①②④