《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1.在$\triangle ABC$中,点$D是BC$边上的点(不与点$B,C$重合),连接$AD$.
(1)如图①,当点$D是BC$的中点时,$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}= $______.
(2)如图②,当$AD是\angle BAC$的平分线时,若$AB= m$,$AC= n$,则$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}= $______.(用含$m,n$的式子表示)
(3)如图③,$AD平分\angle BAC$,延长$AD到点E$,使$DE= AD$,连接$BE$.若$AC= 2$,$AB= 4$,$S_{\triangle BDE}= 6$,则$S_{\triangle ABC}= $______.

答案：
(1)
因为$D$是$BC$中点，所以$BD = CD$。
设$\triangle ABC$中$BC$边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）。
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot h$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}CD\cdot h$，所以$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}=1:1$。
(2)
过$D$作$DE\perp AB$于$E$，$DF\perp AC$于$F$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，根据角平分线性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE = DF$。
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot DF$，则$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot DE}{\frac{1}{2}AC\cdot DF}=\frac{AB}{AC}=\frac{m}{n}$。
(3)
因为$AD$平分$\angle BAC$，过$D$作$DM\perp AB$于$M$，$DN\perp AC$于$N$，则$DM = DN$。
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DM$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot DN$，所以$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{2}=2$，即$S_{\triangle ABD}=2S_{\triangle ACD}$。
因为$DE = AD$，$\triangle BDE$与$\triangle ABD$高相同，底$DE = AD$，所以$S_{\triangle BDE}=S_{\triangle ABD}=6$。
则$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=3$。
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=6 + 3=9$。
综上，答案依次为：
(1)$1:1$；
(2)$m:n$；
(3)$9$。

2.如图,$AD是\triangle ABC$的角平分线,$DF\perp AB于点F$,点$G是AC$边上一点,且$DE= DG$,$S_{\triangle ADG}= 24$,$S_{\triangle AED}= 18$,求$\triangle DEF$的面积.

答案： 3

3.如图,$\angle AOB= 90^{\circ}$,$OM平分\angle AOB$,一直角的顶点$P在射线OM$上移动,两直角边分别与$OA$,$OB相交于点C$,$D$,则$PC与PD$相等吗?请说明理由.

答案： PC与PD相等。理由如下：
1. 过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F。
2.
∵OM平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF（角平分线上的点到角两边距离相等）。
3.
∵∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴四边形OEPF是矩形，又PE=PF，
∴四边形OEPF是正方形，
∴∠EPF=90°。
4.
∵∠CPD=90°，
∴∠CPE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，
∴∠CPE=∠DPF。
5. 在△PEC和△PFD中，∠PEC=∠PFD=90°，PE=PF，∠CPE=∠DPF，
∴△PEC≌△PFD（ASA）。
6.
∴PC=PD。