《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

7. 【教材P53习题T8变式】如图,AB//CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD,AD经过点P,且AD⊥AB. 若AD= 10,则点P到BC的距离是______.

答案： 过点P作PE⊥BC于E。
∵AB//CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD（垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条），∠A=∠D=90°。
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PA=PE（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵CP平分∠BCD，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边距离相等）。
设PE=h，则PA=PD=h。
∵AD=PA+PD，AD=10，
∴h+h=10，解得h=5。
点P到BC的距离是5。
5

8. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,BC= 6,AC= 8,CE是△ABC的角平分线,过点E作EF//AC交BC于点F,则EF的长为______.

答案： 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(8²+6²)=10。
CE是∠ACB的平分线，∠ACB=90°，则∠ACE=∠BCE=45°。
∵EF//AC，
∴∠CEF=∠ACE=45°（内错角相等）。
在△CEF中，∠ECF=∠CEF=45°，
∴CF=EF（等角对等边）。
设EF=x，则CF=x，BF=BC-CF=6-x。
∵EF//AC，
∴△BEF∽△BAC（AA相似）。
∴EF/AC=BF/BC，即x/8=(6-x)/6。
解得6x=8(6-x)，6x=48-8x，14x=48，x=24/7。
EF=24/7。

9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AD平分∠BAC交BC于点D,CG⊥AB于点G,交AD于点E,DF⊥AB于点F. 给出下列结论:①DC= DF;②∠CED= ∠CDE;③∠ADF= 2∠FDB;④S△AEC:S△AEG= AC:AG. 其中正确的是______.(填序号)

答案： ①
∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°，DF⊥AB，
∴DC=DF（角平分线性质），①正确；
②
∵CG⊥AB，
∴∠AGE=90°，设∠CAD=∠BAD=α，则∠AEG=90°-α（Rt△AEG中），∠CED=∠AEG=90°-α（对顶角）；∠ACB=90°，
∴∠ADC=90°-α（Rt△ACD中），即∠CDE=90°-α，
∴∠CED=∠CDE，②正确；
③∠ADF=90°-α（Rt△ADF中），∠B=90°-2α，∠FDB=∠B=90°-2α（Rt△DFB中，DF=DC，∠DFB=90°），90°-α=2(90°-2α)不恒成立，③错误；
④S△AEC:S△AEG=(1/2·AC·AE·sinα):(1/2·AG·AE·sinα)=AC:AG，④正确。
①②④

10. 如图,已知∠AOB和线段a,点D为OB上的一点.
(1)作∠AOB的平分线OC.
(2)在OC上取一点P,使OP= a,连接PD.
(3)爱动脑筋的小刚经过仔细观察后,进行如下操作:在边OA上取一点E,使PE= PD. 这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定的数量关系,请写出∠OEP与∠ODP之间的数量关系,并说明理由.

答案：
(1) 作图步骤：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③作射线OC，OC即为∠AOB的平分线。
(2) 作图步骤：①用圆规量取线段a的长度；②以点O为圆心，a为半径画弧，交OC于点P；③连接PD。
(3) ∠OEP与∠ODP的数量关系为∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°。
理由：过点P作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H。
∵OC平分∠AOB，
∴PG=PH（角平分线性质）。
在Rt△PGE和Rt△PHD中，
∵PE=PD，PG=PH，
∴Rt△PGE≌Rt△PHD（HL），
∴∠PEG=∠PDH。
当点E在PG右侧（靠近A方向）时，∠OEP=∠PEG=∠PDH=∠ODP；
当点E在PG左侧（靠近O方向）时，∠OEP+∠PEG=180°，
∴∠OEP+∠ODP=180°。

11. 已知在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC= 180°,AC平分∠BCD.
(1)如图①,求证:AB= AD.
(2)如图②,点F为BC上一点,延长AF到点E,连接CE,且CE= AD,∠BCE= ∠BAC-45°. 若∠BAD= 90°,求证:BF= EF.

答案： （1）证明：
在$BC$上截取$CG=CD$，连接$AG$。
因为$AC$平分$\angle BCD$，
所以$\angle ACD=\angle ACG$。
在$\triangle ACD$和$\triangle ACG$中，
$\begin{cases}CD=CG,\\\angle ACD=\angle ACG,\\AC=AC.\end{cases}$
所以$\triangle ACD\cong\triangle ACG(SAS)$，
所以$AD=AG,\angle ADC=\angle AGC$。
因为$\angle ABC+\angle ADC=180^\circ,\angle AGB+\angle AGC=180^\circ$，
所以$\angle ABC=\angle AGB$，
所以$AB=AG$，
因此$AB=AD$。
（2）证明：
在$AE$上截取$AH=AC$，连接$CH$。
因为$\angle BAD=90^\circ,\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$，
所以$\angle BCD=90^\circ$。
因为$AC$平分$\angle BCD$，
所以$\angle ACB=\angle ACD=45^\circ$。
因为$\angle BCE=\angle BAC-45^\circ$，
所以$\angle BAC=\angle BCE+\angle ACB=\angle ACE$。
因为$AB=AD=AG,AH=AC$，
所以$BH=CG$。
在$\triangle BAH$和$\triangle CAG$中，
$\begin{cases}BA=CA,\\BH=CG,\\AH=AG.\end{cases}$
所以$\triangle BAH\cong\triangle CAG(SSS)$，
所以$\angle BAH=\angle CAG$。
因为$\angle BAH+\angle HAC=\angle BAC,\angle HAC+\angle CAG=\angle HAG$，
所以$\angle HAG=\angle BAC$。
因为$\angle BAC=\angle ACE,\angle HAG=\angle E+\angle ACE$，
所以$\angle E=\angle ACE$，
所以$AE=CE$，
因此$AE=AD=CE$。
因为$CE=AD=AG,AH=AC$，
所以$EH=CG$。
因为$CG=BF$，
所以$EH=BF$。
在$\triangle EFH$和$\triangle CFB$中，
$\begin{cases}\angle E=\angle BCE,\\\angle EFH=\angle CFB,\\EH=BF.\end{cases}$
所以$\triangle EFH\cong\triangle CFB(AAS)$，
因此$EF=BF$。