《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,在四边形ABCD中,AB= CD,AD= CB. 求证:∠A= ∠C.

答案： 证明：连接BD，
在△ABD和△CDB中，
∵AB=CD，AD=CB，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠A=∠C。

2. 如图,AC与BD相交于点O,AC= BD,AB= DC. 求证:AO= DO.

答案： 证明：
连接$AD$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DCB$中，
$\begin{cases}AC=DB,\\AB=DC,\\AD=DA.\end{cases}$
根据三角形全等（SSS）判定定理：两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle DCB$。
$\therefore\angle BAC=\angle CDB$。
在$\triangle AOD$和$\triangle DOB$中，
$\begin{cases}\angle AOD=\angle DOB,\\\angle BAC=\angle CDB,\\AC=DB.\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）判定定理可得：
$\triangle AOD\cong\triangle DOB$。
$\therefore AO=DO$。

3. 如图,AB= AC,BD= CD,DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F. 求证:DE= DF.

答案： 证明：
连接$AD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC,\\BD=CD,\\AD=AD.\end{cases}$
根据三角形全等（SSS）判定定理：两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
$\therefore\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
$\therefore\angle BAD=\angle CAD$，即$AD$为$\angle BAC$的角平分线。
$\because DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
$\therefore DE=DF$。

4. 如图①,在Rt△ABC中,AC= BC,∠C= 90°,点D是BC的中点,将△ACD沿AD折叠后得到△AED,过点B作BF//AC,交AE的延长线于点F.
(1)操作发现:线段BF和EF的数量关系是______.
(2)类比思考:若将图①中“AC= BC”改成“AC≠BC”,其他条件不变,如图②,则(1)中的发现是否仍然成立？请说明理由.

答案：
(1) BF=EF
(2) 成立。理由如下：
连接DE，由折叠性质得DE=CD，∠AED=∠C=90°，
∴∠DEF=90°。
∵D是BC中点，
∴CD=DB，
∴DE=DB，
∴∠DEB=∠DBE。
设∠DEB=∠DBE=x，则∠BDE=180°-2x。
∵BF//AC，∠C=90°，
∴∠FBC=90°。
设∠CAD=θ，在Rt△ACD中，∠ADC=90°-θ，由折叠得∠ADE=∠ADC=90°-θ，
∴∠BDE=180°-2∠ADC=2θ，即180°-2x=2θ，
∴x=90°-θ，
∴∠DBE=90°-θ。
∴∠EBF=∠FBC-∠DBE=90°-(90°-θ)=θ。
∠BEF=∠AED-∠DEB=90°-x=90°-(90°-θ)=θ，
∴∠BEF=∠EBF，
∴BF=EF。