《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,在△ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点.
(1)若$S_{\triangle ABC}= 8\ cm^2$,则$S_{\triangle BEF}= $______$cm^2$; (2)若$S_{\triangle BFC}= 1\ cm^2$,则$S_{\triangle ABC}= $______$cm^2$.

答案：
(1)
∵D是BC中点，
∴AD是△ABC中线，$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=4\ cm^2$。
∵E是AD中点，
∴BE是△ABD中线，CE是△ACD中线，$S_{\triangle BED}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=2\ cm^2$，$S_{\triangle CED}=\frac{1}{2}S_{\triangle ACD}=2\ cm^2$。
∴$S_{\triangle BEC}=S_{\triangle BED}+S_{\triangle CED}=2+2=4\ cm^2$。
∵F是CE中点，
∴BF是△BEC中线，$S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}S_{\triangle BEC}=2\ cm^2$。
(2)
∵F是CE中点，
∴BF是△BEC中线，$S_{\triangle BFC}=\frac{1}{2}S_{\triangle BEC}$。
∵$S_{\triangle BFC}=1\ cm^2$，
∴$S_{\triangle BEC}=2\ cm^2$。
∵E是AD中点，
∴$S_{\triangle BED}=S_{\triangle ABE}$，$S_{\triangle CED}=S_{\triangle ACE}$，设$S_{\triangle BED}=x$，$S_{\triangle CED}=y$，则$S_{\triangle BEC}=x+y=2\ cm^2$。
∵D是BC中点，
∴$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}=2x=2y$，
∴$x=y=1$。
∴$S_{\triangle ABD}=2x=2\ cm^2$，$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABD}=4\ cm^2$。
(1)2；
(2)4

2. 如图,在△ABC中,点E是AC边上一点,点F是BE的中点,连接AF,CF. 若$S_{\triangle ABC}= 6\ cm^2$,则阴影部分的面积之和为( )

A.$2\ cm^2$
B.$2.5\ cm^2$
C.$3\ cm^2$
D.$3.5\ cm^2$

答案： C

3. 等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.
(1)如图①,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,$BC= 3$,$AC= 4$,$AB= 5$,$CD\perp AB$于点D,则CD的长为______.
(2)如图②,在△ABC中,$AB= 4$,$BC= 2$,则△ABC的高CD与AE的比是______.
(3)如图③,在△ABC中,$\angle C= 90^\circ$($\angle A＜\angle ABC$),点D,P分别在边AB,AC上,且$BP= AP$,$DE\perp BP$于点E,$DF\perp AP$于点F. 若$BC= 10$,求$DE+DF$的值.

答案：
(1) 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×4×3=6$。又$CD\perp AB$，$AB=5$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，即$\frac{1}{2}×5× CD=6$，解得$CD=\frac{12}{5}$。
(2) 设$\triangle ABC$面积为$S$，$CD$是$AB$边上的高，$AE$是$BC$边上的高。则$S=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}×4\cdot CD=2CD$，且$S=\frac{1}{2}BC\cdot AE=\frac{1}{2}×2\cdot AE=AE$。故$2CD=AE$，$\frac{CD}{AE}=\frac{1}{2}$。
(3) 连接$PD$，设$AP=BP=x$。$S_{\triangle APB}=S_{\triangle PBD}+S_{\triangle PAD}$，$S_{\triangle PBD}=\frac{1}{2}BP\cdot DE$，$S_{\triangle PAD}=\frac{1}{2}AP\cdot DF$，因$AP=BP$，则$S_{\triangle APB}=\frac{1}{2}x(DE+DF)$。又$AC\perp BC$，$BC=10$，$S_{\triangle APB}=\frac{1}{2}AP\cdot BC=\frac{1}{2}x\cdot10=5x$。故$\frac{1}{2}x(DE+DF)=5x$，解得$DE+DF=10$。
(1)$\frac{12}{5}$
(2)$\frac{1}{2}$
(3)$10$

4. 如图,点D是△ABC中AC边上的一点,且$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}}= 4$,则$\frac{CD}{AC}$的值为( )

A.$\frac{1}{3}$

B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{2}{5}$

D.$\frac{1}{5}$

答案： D

5. 如图,在△ABC中,E是BC上的一点,$EC= 2BE$,点D是AC的中点,且$S_{\triangle ABC}= 6$,求$S_{\triangle ADF}-S_{\triangle BEF}$的值.

答案： 答题卡：
解：
由于点D是AC的中点，
所以$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle CBD} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC} = 3$（三角形中线将三角形分为面积相等的两部分）。
由于$EC = 2BE$，
所以$S_{\triangle AEC} = \frac{2}{3}S_{\triangle ABC} = 4$，$S_{\triangle ABE} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} = 2$（按比例分配三角形面积）。
又因为$S_{\triangle AEC} = S_{\triangle AED} + S_{\triangle CED}$，且$S_{\triangle CED} = S_{\triangle BED} + S_{\triangle BEF} + S_{\triangle ADF} - S_{\triangle ABE}$，
由于D是AC中点，所以$S_{\triangle AED} = S_{\triangle CED}$（三角形中线将三角形分为面积相等的两部分），
从而$S_{\triangle ADF} - S_{\triangle BEF} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle ABE} = 3 - 2 = 1$。