《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,在△ABC中,点D为BC上一点,∠1= ∠2,∠3= ∠4,∠BAC= 108°,则∠DAC的度数为 ( )


A.80°
B.82°
C.84°
D.86°

答案： C

2. 在△ABC中,∠B= ∠A+20°,∠C= ∠B+20°,求△ABC的三个内角的度数.___

答案： 1. 根据题意，设$\angle A = x$。
2. 由$\angle B = \angle A + 20^\circ$，得$\angle B = x + 20^\circ$。
3. 由$\angle C = \angle B + 20^\circ$，得$\angle C = (x + 20^\circ) + 20^\circ = x + 40^\circ$。
4. 根据三角形内角和定理，$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$，代入得：
$x + (x + 20^\circ) + (x + 40^\circ) = 180^\circ$
5. 合并同类项，得：
$3x + 60^\circ = 180^\circ$
6. 移项并化简，得：
$3x = 120^\circ$
$x = 40^\circ$
7. 代入$x = 40^\circ$，得：
$\angle A = 40^\circ$
$\angle B = 40^\circ + 20^\circ = 60^\circ$
$\angle C = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ$
故$\bigtriangleup ABC$的三个内角的度数分别为$40^\circ$，$60^\circ$，$80^\circ$。

3. 在四边形ABCD中,AD//BC,AB//CD,点E是边AD上一点,连接CE,∠ABC和∠DCE的平分线相交于点P.
(1)如图①,求证:2∠BPC+∠ECB= 180°.
(2)如图②,∠BCP的平分线CF交AD于点F,且4∠BPC= 3∠DEC,3∠D= 2∠DFC,求∠PCF的度数.

答案：
(2)∠PCF=54°

4. 若AE是△ABC的角平分线,AD是BC边上的高,且∠B= 40°,∠ACD= 70°,则∠DAE的度数为___.

答案： 15°

5. 若三角形的两个内角α与β满足2α+β= 90°,则称这样的三角形为"准直角三角形".如图,B,C为直线l上两点,点A在直线l外,且∠ABC= 50°.若点P是l上一点,且△ABP是"准直角三角形",则∠APB的度数为___.

答案： 分情况讨论：
情况一：点P在点B右侧（∠ABP=50°）
在△ABP中，∠A+∠ABP+∠APB=180°，即∠A+∠APB=130°。
根据“准直角三角形”定义，存在两内角α、β满足2α+β=90°：
1. 若α=∠APB，β=∠ABP，则2∠APB+50°=90°，解得∠APB=20°；
2. 若α=∠A，β=∠ABP，则2∠A+50°=90°，解得∠A=20°，此时∠APB=180°-50°-20°=110°。
情况二：点P在点B左侧（∠ABP=130°）
在△ABP中，∠A+∠ABP+∠APB=180°，即∠A+∠APB=50°。
根据“准直角三角形”定义，α、β为两锐角（∠A和∠APB）：
1. 若α=∠A，β=∠APB，则2∠A+∠APB=90°，联立∠A+∠APB=50°，解得∠APB=10°；
2. 若α=∠APB，β=∠A，则2∠APB+∠A=90°，联立∠A+∠APB=50°，解得∠APB=40°。
综上，∠APB的度数为10°或20°或40°或110°。
10°，20°，40°，110°

6. 在非直角三角形ABC中,∠A= 50°,高BD和高CE所在的直线交于点P,请画出图形并求出∠BPC的度数.___

答案： 情况一：△ABC为锐角三角形
画图：高BD、CE在△ABC内部，交于点P（垂心）。
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°。
在四边形AEPD中，∠A+∠AEP+∠ADP+∠EPD=360°，
∴∠EPD=360°-∠A-∠AEP-∠ADP=360°-50°-90°-90°=130°。
∵∠BPC=∠EPD（对顶角相等），
∴∠BPC=130°。
情况二：△ABC为钝角三角形（以∠C为钝角为例）
画图：高BD在△ABC外部（D在AC延长线上），高CE在△ABC内部（E在AB上），交于点P。
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°。
在四边形AEPD中，∠A+∠AEP+∠ADP+∠EPD=360°，
∴∠EPD=360°-50°-90°-90°=130°。
∵∠BPC+∠EPD=180°（邻补角定义），
∴∠BPC=180°-130°=50°。
结论：∠BPC的度数为50°或130°。