《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1.如图,在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在点P(4,4)处,两直角边与坐标轴分别交于点A,B,则OA+OB的值为______.

答案： 8

2.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB于点E,∠B+∠ADC= 180°.
(1)求证:CD= CB.
(2)若AB+AD= 10,求AE的长.

答案：
(1) 证明：
作$CF \perp AD$，交$AD$的延长线于点$F$。
因为$AC$平分$\angle BAD$，$CE \perp AB$，$CF \perp AD$，所以$CE = CF$，$\angle CEB = \angle CFD = 90^{\circ}$。
因为$\angle B + \angle ADC = 180^{\circ}$，$\angle FDC + \angle ADC = 180^{\circ}$，所以$\angle B = \angle FDC$。
在$\triangle CEB$和$\triangle CFD$中，$\begin{cases} \angle CEB = \angle CFD \\ \angle B = \angle FDC \\ CE = CF \end{cases}$
所以$\triangle CEB \cong \triangle CFD(AAS)$，所以$CD = CB$。
(2) 由
(1)知$\triangle CEB \cong \triangle CFD$，所以$BE = DF$，$CE = CF$。
在$Rt\triangle ACE$和$Rt\triangle ACF$中，$\begin{cases} AC = AC \\ CE = CF \end{cases}$
所以$Rt\triangle ACE \cong Rt\triangle ACF(HL)$，所以$AE = AF$。
因为$AB + AD = 10$，$AB = AE + BE$，$AD = AF - DF$，$BE = DF$，$AE = AF$，所以$AB + AD = AE + BE + AF - DF = 2AE = 10$，解得$AE = 5$。

3.如图,在四边形ABCD中,CE⊥AB,已知CB= CD,AC平分∠BAD.求证:
(1)∠B+∠ADC= 180°.(2)AD+AB= 2AE.

答案： （1）过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F。
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF=CE（角平分线性质）。
在Rt△CFD和Rt△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l} CD=CB\\ CF=CE\end{array}\right.$，
∴Rt△CFD≌Rt△CEB（HL）。
∴∠CDF=∠B。
∵∠ADC+∠CDF=180°（邻补角定义），
∴∠ADC+∠B=180°，即∠B+∠ADC=180°。
（2）由（1）知Rt△CFD≌Rt△CEB，
∴DF=EB（全等三角形对应边相等）。
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=AC\\ CF=CE\end{array}\right.$，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）。
∴AF=AE（全等三角形对应边相等）。
∵AD=AF-DF，AB=AE+EB，DF=EB，
∴AD+AB=(AF-DF)+(AE+EB)=AE-DF+AE+DF=2AE。