《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

12. 给出下列四个算式：
①$(a^{5})^{3}= a^{5+3}= a^{8}$；②$(-x^{2})^{4}= -x^{2×4}= -x^{8}$；③$[(b^{2})^{2}]^{2}= b^{2×2×2}= b^{8}$；④$[-(y+1)^{2}]^{5}= -(y+1)^{10}$。
其中计算正确的有 ( )

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

答案： ①$(a^{5})^{3}=a^{5×3}=a^{15}$，原计算错误；
②$(-x^{2})^{4}=x^{2×4}=x^{8}$，原计算错误；
③$[(b^{2})^{2}]^{2}=b^{2×2×2}=b^{8}$，计算正确；
④$[-(y+1)^{2}]^{5}=- (y+1)^{2×5}=-(y+1)^{10}$，计算正确。
正确的有③④，共2个。
C

13. 已知$x^{2n}= 4$,$y^{n}= 3$,则$(x^{2}y)^{2n}= $______。

答案： $(x^{2}y)^{2n}$
$=(x^{2})^{2n} \cdot y^{2n}$（积的乘方法则：$(ab)^m = a^m b^m$）
$=x^{4n} \cdot (y^{n})^{2}$（幂的乘方法则：$(a^m)^n = a^{mn}$）
$=(x^{2n})^{2} \cdot (y^{n})^{2}$（幂的乘方法则：$(a^m)^n = a^{mn}$）
$=4^{2} \cdot 3^{2}$（代入$x^{2n}=4$，$y^{n}=3$）
$=16 \cdot 9$
$=144$
144

14. 若$2×4^{x}×8^{x}= 2^{21}$,则x的值为______。

答案： 4

15. 已知地球的半径约为$6×10^{3}km$,用S,r分别表示赤道所围成的圆的面积和地球的半径,且$S= πr^{2}$。则赤道所围成的圆的面积约为______$km^{2}$。(π取3.14,结果精确到百万位)

答案： $1.13 × 10^{8}$

16. 若$2x+5y-3= 0$,则$4^{x}·32^{y}$的值为______。

答案： 8

17. 若$10^{m}= 2$,$10^{n}= 3$,则$10^{3m}+10^{2n}= $______。

答案： 17

18. 若$a= 7^{8}$,$b= 8^{7}$,则$56^{56}= $______。(用含a,b的式子表示)

答案： $56^{56}=(7×8)^{56}$
$=7^{56}×8^{56}$
$=(7^8)^7×(8^7)^8$
$=a^7b^8$
$a^7b^8$

19. 已知n为正整数,且$x^{2n}= 4$,$y^{n}= 3$,则$(x^{2}y)^{2n}-2(xy)^{2n}$的值为______。

答案： 首先，我们将目标表达式进行展开：
$(x^{2}y)^{2n} = x^{4n}y^{2n}$，
$(xy)^{2n} = x^{2n}y^{2n}$，
所以，$(x^{2}y)^{2n} - 2(xy)^{2n} = x^{4n}y^{2n} - 2x^{2n}y^{2n}$，
根据幂的乘方运算法则，我们可以进一步将上述表达式转化为：
$x^{4n}y^{2n} - 2x^{2n}y^{2n} = (x^{2n})^{2}y^{2n} - 2x^{2n}y^{2n}$，
代入题目给定的$x^{2n} = 4$和$y^{n} = 3$，同时注意到$y^{2n} = (y^{n})^{2}$，我们得到：
$(x^{2n})^{2}y^{2n} - 2x^{2n}y^{2n} = 4^{2} × 3^{2} - 2 × 4 × 3^{2}$
$= 16 × 9 - 2 × 4 × 9$
$= 144 - 72$
$= 72$
故答案为：72。

20. 若$a^{m}= a^{n}(a＞0且a≠1$,m,n是正整数),则$m= n$。
利用上面的结论解决下面的问题：
(1)如果$2^{2x}·3^{x+3}= 36^{x-1}$,求x的值；
(2)若$x= 5^{m}-3$,$y= 4-25^{m}$,请用含x的式子表示y。

答案： 答案略

21. 阅读下面材料,解决问题：
材料一：比较$3^{22}和4^{11}$的大小。
解：$\because 4^{11}= (2^{2})^{11}= 2^{22}$,且$3＞2$,$\therefore 3^{22}＞2^{22}$,即$3^{22}＞4^{11}$。
小结：指数相同的情况下,通过比较底数的大小,来确定两个幂的大小。
材料二：比较$2^{8}和8^{2}$的大小。
解：$\because 8^{2}= (2^{3})^{2}= 2^{6}$,且$8＞6$,$\therefore 2^{8}＞2^{6}$,即$2^{8}＞8^{2}$。
小结：底数相同的情况下,通过比较指数的大小,来确定两个幂的大小。
问题：(1)比较$3^{44}$,$4^{33}$,$5^{22}$的大小。
(2)比较$81^{31}$,$27^{41}$,$9^{61}$的大小。
(3)已知$a^{2}= 2$,$b^{3}= 3$,比较a,b的大小(a,b均为大于1的数)。

答案：
(1)
因为$3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，$4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$，$5^{22}=(5^2)^{11}=25^{11}$，
且$81＞64＞25$，
所以$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$。
(2)
因为$81^{31}=(3^4)^{31}=3^{124}$，$27^{41}=(3^3)^{41}=3^{123}$，$9^{61}=(3^2)^{61}=3^{122}$，
且$124＞123＞122$，
所以$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$。
(3)
因为$a^6=(a^2)^3=2^3=8$，$b^6=(b^3)^2=3^2=9$，
且$8＜9$，
所以$a^6＜b^6$，
又$a,b$均为大于$1$的数，
所以$a＜b$。