《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

8. 如图,在等腰直角三角形ABC中,AB= AC= 6,在△ABC内取一点O,使OB= AB,连接AO,过点A作AM⊥BO于点M. 若∠OAC= 15°,则AM的长为______.

答案：
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=6，
∴∠BAC=90°。
∵∠OAC=15°，
∴∠BAO=∠BAC-∠OAC=90°-15°=75°。
∵OB=AB=6，
∴△ABO为等腰三角形，AB=OB。
∴∠BAO=∠BOA=75°（等边对等角）。
在△ABO中，∠ABO=180°-∠BAO-∠BOA=180°-75°-75°=30°。
∵AM⊥BO，
∴∠AMB=90°，即△ABM为直角三角形。
在Rt△ABM中，∠ABM=30°，斜边AB=6，
∴AM=1/2AB=1/2×6=3（30°角所对直角边等于斜边一半）。
3

9. 如图,一艘船以15海里/时的速度向正北方向航行,上午8时,从A处测得灯塔C在北偏西30°的方向上,9时30分船到达B处,测得灯塔C在北偏西60°的方向上. 若船继续向正北方向航行,求该船何时到达灯塔C的正东方向的D处.

答案： 解：由题意得，船从A到B航行时间为1.5小时，速度15海里/时，
∴AB=15×1.5=22.5海里。
设BD=x海里，D为灯塔C正东方向，
∴CD⊥AD，∠CDA=90°。
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，
∴CD=BD·tan60°=x√3。
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD=AD·tan30°=(AB+BD)·tan30°=(22.5+x)·(1/√3)。
∴x√3=(22.5+x)/√3，
两边乘√3得3x=22.5+x，
解得x=11.25。
从B到D所需时间：11.25÷15=0.75小时=45分钟。
9时30分+45分钟=10时15分。
答：该船10时15分到达D处。

10. 如图,在Rt△ACB中,∠ACB= 90°,∠A= 30°,∠ABC的平分线交AC于点E,点D为AB边上一点,且AC= AD,CD与BE交于点M,CH⊥BE于点H. 若AB= 16,求MH的长.

答案： 4

11. 如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 120°,点M,N在底边BC上,且∠ANM= 45°,∠MAN= 60°,则$\frac{CN}{BM}$的值为( )

A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： D

12. 如图,在△ABC中,AB= AC,D,E是△ABC内的两点,且AE平分∠BAC,∠D= ∠DBC= 60°. 若BD= 10,DE= 6,则BC的长为______.

答案： 16