《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1.如图,在$\triangle ABC$中,$BD⊥AC$于点 D,$CE⊥AB$于点 E,点 P 在 BD 的延长线上,$BP= AC$,点 Q 在 CE 上,$CQ= AB.$
求证:(1)$AP= QA.$(2)$AP⊥QA.$

答案：
(1)证明：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°。
∵∠ABD+∠BAC=90°，∠ACE+∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠ACE（同角的余角相等），即∠ABP=∠QCA。
在△ABP和△QCA中，
$\begin{cases} AB=QC（已知CQ=AB）\\ ∠ABP=∠QCA（已证）\\ BP=CA（已知BP=AC） \end{cases}$
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP=QA（全等三角形对应边相等）。
(2)证明：
由
(1)知△ABP≌△QCA，
∴∠BAP=∠CQA。
∵CE⊥AB，
∴∠AEQ=90°，
∴∠CQA+∠QAE=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠BAP=∠CQA，
∴∠BAP+∠QAE=90°，即∠PAQ=90°，
∴AP⊥QA。

2.如图,已知$∠BAD= ∠BCD= 90^{\circ },AB= AD$,点 E 在 CD 的延长线上,$∠BAC= ∠DAE$.求证:$\triangle ABC\cong \triangle ADE.$

答案： 证明：
因为$\angle BAD=\angle BCD=90^\circ$，
所以$\angle BAD+\angle BCD=180^\circ$，
所以$\angle ABC+\angle ADC=360^\circ-(\angle BAD+\angle BCD)=360^\circ-180^\circ=180^\circ$，
因为$\angle ADE+\angle ADC=180^\circ$，
所以$\angle ABC=\angle ADE$。
因为$\angle BAC=\angle DAE$，$AB=AD$，
所以在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，
$\begin{cases}\angle ABC=\angle ADE,\\\angle BAC=\angle DAE,\\AB=AD.\end{cases}$
所以$\triangle ABC\cong \triangle ADE (AAS)$。

3.如图,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$AB= AC$,BD 分别与 AC,EC 交于点 F,O,$∠BAC= ∠BOC= ∠EAD$.求证:$BD= CE.$

答案： 证明：
∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
∵∠BOC=∠BAC，点O为BD、EC交点，
∴在△ABF和△OFC中，∠AFB=∠OFC（对顶角相等）。
∵∠AFB=180°-∠BAC-∠ABD，∠OFC=180°-∠BOC-∠ACE，且∠BAC=∠BOC，
∴180°-∠BAC-∠ABD=180°-∠BOC-∠ACE，即∠ABD=∠ACE。
在△ABD和△ACE中，
∠ABD=∠ACE，
AB=AC，
∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（ASA）。
∴BD=CE。

4.如图,在$Rt\triangle ABC$中,$BC= AC,∠ACB= 90^{\circ }$,BF 平分$∠ABC$交 AC 于点 F,$AE⊥BF$交 BF 的延长线于点 E,交 BC 的延长线交于点 M.
求证:(1)$AB= MB$. (2)$BF= 2AE.$

答案：
(1)
∵AE⊥BF，
∴∠AEB=∠MEB=90°．
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠MBE．
在△ABE和△MBE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ABE=∠MBE\\ BE=BE\\ ∠AEB=∠MEB\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MBE（ASA）．
∴AB=MB（全等三角形对应边相等）．
(2)
∵∠ACB=90°，M在BC延长线上，
∴∠ACM=90°．
∵∠AEB=90°，
∴∠EAF+∠AFE=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠CBF+∠BFC=90°．
∵∠AFE=∠BFC（对顶角相等），
∴∠EAF=∠CBF（等角的余角相等），即∠CAM=∠CBF．
在△BCF和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠CBF=∠CAM\\ BC=AC\\ ∠BCF=∠ACM\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACM（ASA）．
∴BF=AM（全等三角形对应边相等）．
∵△ABE≌△MBE，
∴AE=ME（全等三角形对应边相等）．
∴AM=AE+ME=2AE．
∴BF=2AE．