《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

4. 如图,△ABC与△BCD的公共边为BC,A,D,E三点共线,∠BDC= ∠BAC= 90°,∠BDE= 45°.求证:AB= AC.

答案： 证明：过点B作BF⊥AD于F，过点C作CG⊥AD于G。
∵∠BDE=45°，BF⊥AD，
∴∠BFD=90°，∠FBD=45°，
∴△BFD为等腰直角三角形，
∴BF=FD。
∵A、D、E共线，∠BDC=90°，∠BDE=45°，
∴∠CDA=180°-∠BDE-∠BDC=45°。
∵CG⊥AD，
∴∠CGD=90°，∠GCD=45°，
∴△CGD为等腰直角三角形，
∴CG=GD。
设BF=FD=m，CG=GD=n，AD=x，则AF=FD+AD=m+x，AG=GD-AD=n-x（若G在D右侧）。
∵BF⊥AD，CG⊥AD，
∴∠BFA=∠AGC=90°。
在Rt△ABF中，AB²=BF²+AF²=m²+(m+x)²；
在Rt△ACG中，AC²=CG²+AG²=n²+(n-x)²。
在直角梯形BFCG中，BC²=FG²+(BF-CG)²=(m+n)²+(m-n)²=2m²+2n²。
∵∠BAC=90°，
∴AB²+AC²=BC²，
即[m²+(m+x)²]+[n²+(n-x)²]=2m²+2n²，
化简得(m+x)²+(n-x)²=m²+n²，
展开并整理：2x²+2(m-n)x=0，解得x=0（舍）或m=n+x。
∴n=m+x，AG=n-x=m，AF=m+x=n。
在Rt△ABF和Rt△CAG中，
∵BF=AG=m，∠BFA=∠AGC=90°，AF=CG=n，
∴△ABF≌△CAG（SAS），
∴AB=AC。
结论：AB=AC。

5. 如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点P在AB上,过点P作PE⊥AC,垂足为点E,延长BC到点Q,使CQ= AP,连接PQ交AC于点D,求DE的长.

答案： 过$P$作$PF// BC$交$AC$于$F$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，
所以$\angle A=\angle B=\angle ACB = 60^{\circ}$，$AB = BC = AC = 4$。
因为$PF// BC$，
所以$\angle APF=\angle B = 60^{\circ}$，$\angle AFP=\angle ACB = 60^{\circ}$，
则$\triangle APF$是等边三角形，
所以$AP = PF = AF$，$\angle PFD = 120^{\circ}$。
又因为$CQ = AP$，
所以$PF = CQ$。
因为$\angle PFD = 120^{\circ}$，$\angle DCQ = 180^{\circ}-\angle ACB = 120^{\circ}$，
且$\angle PDF=\angle QDC$（对顶角相等），
根据$AAS$（角角边）可得$\triangle PFD\cong\triangle QCD$。
所以$FD = DC$。
因为$PE\perp AC$，$\triangle APF$是等边三角形，
所以$AE = EF$。
因为$AE + EF + FD + DC = AC = 4$，
即$2(EF + FD)=4$，
所以$EF + FD = 2$，
即$DE = 2$。
综上，$DE$的长为$2$。

6. 如图,在△ABF中,∠ABF= 60°,以AF为边作等边三角形AEF,过点E作ED⊥AB于点D,请判断线段AB,BF,BD之间的数量关系,并说明理由.

答案： AB + BF = 2BD。
证明：在DB上截取DN=AD，连接EN。
∵ED⊥AB，
∴EN=AE（线段垂直平分线上的点到两端距离相等）。
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∴EN=AF。
设∠BAF=α，则∠EAD=∠EAF+∠BAF=60°+α。
∵EN=AE，
∴∠ENA=∠EAD=60°+α（等腰三角形底角相等），
∴∠ENB=180°-∠ENA=120°-α。
在△ABF中，∠ABF=60°，
∴∠AFB=180°-∠ABF-∠BAF=120°-α，
∴∠ENB=∠AFB。
在△ENB和△AFB中，
∠EBN=∠ABF=60°（公共角），
∠ENB=∠AFB，
EN=AF，
∴△ENB≌△AFB（AAS），
∴NB=BF。
∵NB=BD-DN=BD-AD，且AD=AB-BD（D在线段AB上），
∴NB=BD-(AB-BD)=2BD-AB。
又
∵NB=BF，
∴2BD-AB=BF，即AB+BF=2BD。
结论：AB + BF = 2BD。