《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

【问题】用n边形的对角线(不相邻顶点的连线)把n(n≥4)边形分割成(n-2)个三角形,共有多少种不同的分割方案?
【探究】为了解决上面的数学问题,我们不妨假设n边形的分割方案有$ D_{n} $种.
探究一:用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形,共有多少种不同的分割方案?
如图①②,有2种不同的分割方案.所以$ D_{4}= 2 $.
探究二:用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形,共有多少种不同的分割方案?
把分割方案分成三类:
第1类:如图③,连接BE,先把五边形分割成1个三角形和1个四边形,再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有$ D_{4} $种不同的分割方案,所以此类共有$ D_{4} $种不同的分割方案.
第2类:如图④,连接AC,CE,把五边形分割成3个三角形,有1种不同的分割方案,可视为$ \frac{1}{2}D_{4} $种分割方案.
第3类:如图⑤,连接AD,先把五边形分割成1个三角形和1个四边形,再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有$ D_{4} $种不同的分割方案,所以此类共有$ D_{4} $种不同的分割方案.
所以$ D_{5}= D_{4}+\frac{1}{2}D_{4}+D_{4}= \frac{5}{2}D_{4}= \frac{10}{4}D_{4}= 5 $(种).
探究三:用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形,共有多少种不同的分割方案?
把分割方案分成四类:
第1类:如图⑥,连接BF,先把六边形分割成1个三角形和1个五边形,再把五边形分割成3个三角形,由探究二知,有$ D_{5} $种不同的分割方案,所以此类共有$ D_{5} $种不同的分割方案.
第2类:如图⑦,连接AC,CF,先把六边形分割成2个三角形和1个四边形,再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有$ D_{4} $种不同的分割方案,所以此类共有$ D_{4} $种分割方案.
第3类:如图⑧,连接AD,DF,先把六边形分割成2个三角形和1个四边形,再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有$ D_{4} $种不同的分割方案,所以此类共有$ D_{4} $种分割方案.
第4类:如图⑨,连接AE,先把六边形分割成1个三角形和1个五边形,再把五边形分割成3个三角形,由探究二知,有$ D_{5} $种不同的分割方案,所以此类共有$ D_{5} $种分割方案.
所以$ D_{6}= D_{5}+D_{4}+D_{4}+D_{5}= D_{5}+\frac{2}{5}D_{5}+\frac{2}{5}D_{5}+D_{5}= \frac{14}{5}D_{5}= 14 $(种).
探究四:用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形,则$ D_{7} 与 D_{6} 的关系为 D_{7}= \frac{(\quad)}{6}D_{6} $,共有______种不同的分割方案.
【结论】根据上述探究直接写出$ D_{n+1} 与 D_{n} $之间的关系:______.
【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形,共有______种不同的分割方案.

答案： 探究四：18；42
结论：$ D_{n+1}=\frac{2(2n-3)}{n}D_{n} $
应用：429