《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90^{\circ },AD\perp BC于点D$,$BE平分\angle ABC$,分别交$AC$,$AD于点E$,$F$.
(1)若$\angle CAD= 36^{\circ }$,求$\angle AEF$的度数.
(2)求证:$\angle AEF= \angle AFE$.

答案：
(1)
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠CAD=36°，
∴∠C=90°-∠CAD=54°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC=90°-∠C=36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC/2=18°，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°-∠ABE=72°，即∠AEF=72°。
(2)设∠ABE=∠EBC=α，则∠ABC=2α，
∵∠BAC=90°，
∴∠C=90°-2α，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，∠CAD=90°-∠C=2α，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=90°-2α，
在Rt△ABE中，∠AEF=∠AEB=90°-α，
在Rt△BDF中，∠BFD=90°-∠EBC=90°-α，
∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），
∴∠AFE=90°-α，
∴∠AEF=∠AFE。

2. 如图,在等边三角形$ABC$中,点$E,D,F分别在边AB,BC,AC$上,$\angle EDF= 60^{\circ }$,$\angle BED= 30^{\circ }$,则$\angle CDF$的度数为______.

答案：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°。
在△BED中，∠B=60°，∠BED=30°，
根据三角形内角和定理，∠BDE=180°-∠B-∠BED=180°-60°-30°=90°。
∵点D在BC上，
∴∠BDE+∠EDC=180°，
∴∠EDC=180°-∠BDE=180°-90°=90°。
∵∠EDC=∠EDF+∠CDF，∠EDF=60°，
∴∠CDF=∠EDC-∠EDF=90°-60°=30°。
30°

3. 如图,已知$\angle CPD= \angle ABD= \angle CAE$,$\angle APD= 75^{\circ }$,则$\angle C$的度数为______.

答案： 75$^\circ$

4. 如图,将一块含$30^{\circ }$角的直角三角尺($\angle EGF= 90^{\circ }$,$\angle FEG= 30^{\circ }$)摆放在长方形纸片的内部,三角尺的三个顶点恰好都在长方形的边上.若$\angle FGC= 16^{\circ }$,求$\angle AEF$的度数.

答案：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠BCD=90°，AD//BC。
在△GCF中，∠BCD=90°，∠FGC=16°，
∴∠GFC=90°-∠FGC=74°（直角三角形两锐角互余）。
∵点F在BC上，
∴∠BFE+∠EFG+∠GFC=180°（平角定义）。
在△EFG中，∠EGF=90°，∠FEG=30°，
∴∠EFG=180°-90°-30°=60°（三角形内角和定理）。
∴∠BFE=180°-∠EFG-∠GFC=180°-60°-74°=46°。
∵AD//BC，EF是截线，
∴∠AEF=∠BFE=46°（两直线平行，内错角相等）。
∠AEF=46°