《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,已知B,C,E,F四点在同一直线上,$AB= DE$,$BE= CF$,$∠B= ∠DEF$.求证:$∠ACE= ∠D+∠DEF$.

答案： 证明：
∵B，C，E，F四点共线，BE=CF，
∴BE-CE=CF-CE，即BC=EF。
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=DE\\ ∠B=∠DEF\\ BC=EF\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（SAS）。
∴∠ACB=∠F。
∵∠ACB+∠ACE=180°（平角定义），
在△DEF中，∠D+∠DEF+∠F=180°（三角形内角和定理），
∴∠D+∠DEF=180°-∠F。
又
∵∠ACB=∠F，
∴∠ACE=180°-∠ACB=180°-∠F=∠D+∠DEF。
即∠ACE=∠D+∠DEF。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠B= ∠C$,点D,E在边BC上,且$BD= CE$,过点D作$FD⊥BC$,过点E作$GE⊥BC$,分别与CA,BA的延长线交于点F,G.求证:$BG= CF$.

答案： 证明：
∵∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）。
∵BD=CE，
∴BD+DE=CE+DE，即BE=CD。
∵FD⊥BC，GE⊥BC，
∴∠GEB=∠FDC=90°。
在△BGE和△CFD中，
∠B=∠C，
∠GEB=∠FDC，
BE=CD，
∴△BGE≌△CFD（AAS）。
∴BG=CF（全等三角形对应边相等）。

3. 如图,BD是$∠ABC$的平分线,$AB= BC$,点E在BD上,连接AE,CE,过点D作$DF⊥AE$,$DG⊥CE$,垂足分别是点F,G.求证:
(1)$\triangle ABE\cong \triangle CBE$.
(2)$EF= EG$.

答案： 证明：
(1)
因为BD是$\angle ABC$的平分线，所以$\angle ABE = \angle CBE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CBE$中：
$\begin{cases}AB = BC,\\\angle ABE = \angle CBE,\\BE = BE.\end{cases}$
所以$\triangle ABE \cong \triangle CBE(SAS)$。
(2)
因为$\triangle ABE \cong \triangle CBE$，所以$AE = CE$，$\angle AEB = \angle CEB$。
那么$\angle AED = \angle CED$。
在$\triangle EFD$和$\triangle EGD$中：
$\begin{cases}\angle EFD = \angle EGD = 90^{\circ},\\\angle FED = \angle GED,\\DE = DE.\end{cases}$
所以$\triangle EFD \cong \triangle EGD(AAS)$。
所以$EF = EG$。

4. 如图,$∠A= ∠B$,$AE= BE$,点D在AC边上,$∠1= ∠2$,AE和BD相交于点O.
(1)求证:$\triangle AEC\cong \triangle BED$.
(2)若$∠1= 38^{\circ }$,求$∠BDE$的度数.

答案：
(1) 证明：
∵ $AE$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，
∴ $∠AOD = ∠BOE$。
∵ $∠A = ∠B$，$∠1 = ∠2$，
∴ $∠BEO = ∠2$。
又
∵ $∠1 = ∠2$，
∴ $∠BEO = ∠1$，
∴ $∠AEC = ∠BED$。
在 $\triangle AEC$ 和 $\triangle BED$ 中，
$\begin{cases}∠A = ∠B, \\ AE = BE, \\ ∠AEC = ∠BED.\end{cases}$
∴ $\triangle AEC \cong \triangle BED (ASA)$。
(2)
∵ $\triangle AEC \cong \triangle BED$，
∴ $EC = ED$，$∠C = ∠BDE$。
∵ $∠1 = 38^\circ$，
∴ $∠C = ∠EDC = 71^\circ$，
∴ $∠BDE = 71^\circ$。