《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 在△ABC中,∠A= 30°,∠C= 90°,AB= 8,则BC的长为( )

A.2
B.4
C.8
D.16

答案： B

2. 如图,在△ABC中,BC= 10 cm,∠B= ∠BAC= 15°,AD⊥BC交BC的延长线于点D,则AD的长为______cm.

答案：
∵在△ABC中，∠B=∠BAC=15°，
∴AC=BC（等角对等边），
∵BC=10cm，
∴AC=10cm。
∵∠B=∠BAC=15°，
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-15°-15°=150°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-150°=30°（平角定义）。
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°（垂直定义），
在Rt△ACD中，∠ACD=30°，
∴AD=1/2AC（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∵AC=10cm，
∴AD=1/2×10=5cm。
5

3. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于点D. 若∠1= 30°,BD= 2,则AD的长为______.

答案： 6

4. 如图,∠DAE= ∠ADE= 15°,DE//AB,DF⊥AB于点F. 若AE= 10,则DF的长为______.

答案： 解题步骤：
1. 在△ADE中：

∵∠DAE=∠ADE=15°，

∴△ADE为等腰三角形，AE=DE。

∵AE=10，

∴DE=10。
2. 求∠EAB的度数：

∵DE//AB，AC为截线，

∴∠AED+∠EAB=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∵∠AED=180°-∠DAE-∠ADE=180°-15°-15°=150°，

∴∠EAB=180°-∠AED=180°-150°=30°。
3. 求DF的长度：
过点E作EH⊥AB于H，

∵DE//AB，DF⊥AB，EH⊥AB，

∴DF=EH（平行线间的距离处处相等）。
在Rt△AEH中，∠EAB=30°，AE=10，

∴EH=1/2AE=1/2×10=5（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半）。

∴DF=EH=5。
最终结论：5

5. 如图,在△ABC中,AB= AC,∠A= 30°,△ABC的面积为4,则AB的长为______.

答案： 作$AD\perp BC$于$D$。
$\because AB = AC$，$\angle A=30^{\circ}$，
$\therefore \angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$，$BC = 2BD$。
$\because \angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，
$\therefore$设$BD = x$，则$AB = 2x$。
根据勾股定理可得$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$。
$\because \triangle ABC$的面积为$4$，
$\therefore \frac{1}{2}× BC× AD = 4$，
即$\frac{1}{2}× 2x×\sqrt{3}x = 4$。
$\sqrt{3}x^{2}=4$，
$x^{2}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
$AB = 2x$，则$AB^{2}=(2x)^{2}=4x^{2}$。
把$x^{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$代入$AB^{2}=4x^{2}$得$AB^{2}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
$AB=\sqrt{\frac{16\sqrt{3}}{3}}=\frac{4\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}×\sqrt[4]{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{ \sqrt{3}×\sqrt{3-1}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}= 2\sqrt{2+\sqrt{3}}$ ，通过三角函数关系进一步化简$AB = \sqrt{8 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$。
故答案为：$\sqrt{6}+\sqrt{2}$。

6. 如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE//AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F. 若CD= 2,求DF的长.

答案： 4

7. 如图,在△ABC中,∠A= 90°,∠B= 60°,BC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E.
(1)求证：AE= DE.
(2)若AE= 6,求CE的长.

答案：
(1)见证明过程；
(2)12。