《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,$AE \perp AB$,且$AE= BA$,$BC \perp CD$,且$BC= CD$,$EF \perp AC交CA的延长线于点F$,$BG \perp AC于点G$,$DH \perp AC交AC的延长线于点H$.若$EF= 8$,$BG= 3$,$HD= 4$,则$FH$的长为______.

答案：
∵AE⊥AB，EF⊥AC，BG⊥AC，
∴∠EAB=∠EFA=∠AGB=90°，
∴∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠BAG，
在△AEF和△BAG中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AEF=∠BAG\\ ∠EFA=∠AGB\\ AE=BA\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BAG(AAS)，
∴EF=AG=8，AF=BG=3；
∵BC⊥CD，BG⊥AC，DH⊥AC，
∴∠BCD=∠BGC=∠CHD=90°，
∴∠BCG+∠DCH=90°，∠BCG+∠CBG=90°，
∴∠CBG=∠DCH，
在△BGC和△CHD中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠CBG=∠DCH\\ ∠BGC=∠CHD\\ BC=CD\end{array}\right.$，
∴△BGC≌△CHD(AAS)，
∴BG=CH=3，CG=DH=4；
∵点F，A，G，C，H在同一直线上，
∴FH=FA+AG+GC+CH=3+8+4+3=18。
18

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,$AC= BC$,$BE \perp CE于点E$,$AD \perp CE于点D$.若$AD= 8$,$DE= 5$,则$\triangle BCD$的面积为______.

答案：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°.
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠E=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE.
在△ADC和△CEB中，
$\begin{cases} ∠ADC=∠E \\∠CAD=∠BCE \\AC=BC \end{cases}$
∴△ADC≌△CEB(AAS).
∴AD=CE=8，DC=BE.
∵DE=5，CE=CD+DE，
∴CD=CE-DE=8-5=3.
∴BE=DC=3.
△BCD的面积=$\frac{1}{2}×CD×BE=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$.
$\frac{9}{2}$

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,$AC= BC$.若点$A的坐标为(-7,3)$,点$C的坐标为(-2,0)$,则点$B$的坐标为______.

答案： $(1,5)$

【变式】如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,$AC= CB$.若点$A$,$C的坐标分别为A(-1,0)$,$C(1,3)$,则点$B$的坐标为______.

答案： 过点C作x轴垂线，过A、B分别作该垂线的垂线，垂足为G、H。
∵∠ACB=90°，
∴∠ACG+∠BCH=90°，又∠ACG+∠CAG=90°，
∴∠CAG=∠BCH。
在△AGC和△CHB中，∠AGC=∠CHB=90°，∠CAG=∠BCH，AC=CB，
∴△AGC≌△CHB(AAS)。
∴AG=CH，CG=BH。
∵A(-1,0)，C(1,3)，
∴AG=1-(-1)=2，CG=3-0=3。
∴CH=2，BH=3。
当H在C下方时，H的纵坐标为3-2=1，B的横坐标为1+3=4，
∴B(4,1)。
(4,1)

4. 如图①,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,$AC= BC$,过点$C在\triangle ABC外作直线MN$,过点$A作AM \perp MN于点M$,过点$B作BN \perp MN于点N$.
(1) 求证：$MN= AM+BN$.
(2) 如图②,若直线$MN经过\triangle ABC$内部,则(1)中的结论是否仍然成立？若不成立,请写出$MN$,$AM与BN$之间的数量关系,并说明理由.

答案： （1）证明：
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠BNC=90°．
∵∠ACB=90°，M、C、N共线，
∴∠ACM+∠BCN=180°-∠ACB=90°．
在Rt△AMC中，∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠BCN．
在△AMC和△CNB中，
$\begin{cases} ∠AMC=∠CNB \\∠MAC=∠BCN \\AC=CB \end{cases}$
∴△AMC≌△CNB（AAS）．
∴AM=CN，MC=BN．
∵MN=MC+CN，
∴MN=BN+AM，即MN=AM+BN．
（2）不成立，MN=|AM-BN|（或MN=BN-AM，假设BN＞AM）．
理由：
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠BNC=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠BCN=∠ACB=90°．
在Rt△AMC中，∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠BCN．
在△AMC和△CNB中，
$\begin{cases} ∠AMC=∠CNB \\∠MAC=∠BCN \\AC=CB \end{cases}$
∴△AMC≌△CNB（AAS）．
∴AM=CN，MC=BN．
∵MN=|MC-CN|，
∴MN=|BN-AM|，即MN=BN-AM（假设BN＞AM）．