《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,在△ABC中,点D是BC的中点,∠1= ∠2.求证:AB= AC.

答案： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，
AD=ED，
∠ADC=∠EDB（对顶角相等），
CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS）。
∴AC=EB，∠2=∠E。
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠E。
∴AB=EB（等角对等边）。
∴AB=AC。

2. 如图,AD是△ABC的中线,点E在AD上,且BE= AC.求证:∠BED= ∠CAD.

答案： 证明：
延长$AD$至点$F$，使得$DF = AD$，连接$BF$。
因为$AD$是$\bigtriangleup ABC$的中线，所以$BD = DC$。
在$\bigtriangleup BDF$和$\bigtriangleup CDA$中：
$\begin{cases}BD = DC,\\\angle BDF = \angle CDA,\\DF = AD.\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\bigtriangleup BDF\cong \bigtriangleup CDA$。
所以$BF = AC$，$\angle F = \angle CAD$。
因为$BE = AC$，所以$BE = BF$。
所以$\angle BED = \angle F$（等边对等角）。
又因为$\angle F = \angle CAD$，所以$\angle BED = \angle CAD$。

3. 如图,点D是BC的中点,点A在线段GD上,且∠1= ∠2.求证:AB= GC.

答案： 证明：
延长$AD$至点$E$，使$DE = AD$，连接$CE$。
因为$D$是$BC$中点，所以$BD = CD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ECD$中：
$\begin{cases}BD = CD,\\\angle ADB = \angle EDC,\\AD = ED.\end{cases}$
所以$\triangle ABD\cong\triangle ECD(SAS)$。
则$AB = EC$，$\angle1 = \angle E$。
因为$\angle1 = \angle2$，所以$\angle2 = \angle E$。
所以$GC = EC$。
又因为$AB = EC$，所以$AB = GC$。

4. 如图,AD为△ABC的角平分线,点E为BC的中点,EF//AD交BA的延长线于点F,交AC于点G.
(1)求证:AF= AG.
(2)求证:BF= CG.
(3)求$\frac{AB+AC}{CG}$的值.

答案：
(1) 见解析；
(2) 见解析；
(3) 2。