《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图是教材中利用尺规作∠AOB的平分线OC的过程,其中判定三角形全等的依据是______.

答案： SSS

2. 如图,在△ABC中,∠ABC= ∠C= 72°.
(1)用尺规作∠ABC的平分线BD,交AC于点D(保留作图痕迹,不写作法);
(2)求∠BDC的度数.

答案：
(1) 作图：以$B$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$AB$、$BC$于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过$B$与该点作射线$BD$交$AC$于$D$，$BD$即为$\angle ABC$的平分线（保留作图痕迹）。
(2)
因为$BD$平分$\angle ABC$，$\angle ABC = 72^{\circ}$，所以$\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 36^{\circ}$。
在$\triangle BDC$中，$\angle C = 72^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BDC=180^{\circ}-\angle DBC - \angle C=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}$。
综上，$\angle BDC$的度数为$72^{\circ}$。

3. 如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C,点D是OB上的动点,若PC= 6 cm,则PD的最小值是( )

A.7 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.3 cm

答案： B

4. 如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是点C,D,则下列结论错误的是( )

A.∠COP= ∠DOP
B.PC= PD
C.OC= OD
D.∠COP= ∠OPD

答案： 因为$OP$为$\angle AOB$的平分线，根据角平分线的定义可知$\angle COP = \angle DOP$，所以选项A正确。
因为$OP$为$\angle AOB$的平分线，$PC\perp OA$，$PD\perp OB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PC = PD$，所以选项B正确。
在$Rt\triangle OCP$和$Rt\triangle ODP$中，$OP = OP$（公共边），$PC = PD$（已证），根据$HL$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）可得$Rt\triangle OCP\cong Rt\triangle ODP$，再根据全等三角形的对应边相等，可得$OC = OD$，所以选项C正确。
仅根据已知条件无法得出$\angle COP = \angle OPD$，所以选项D错误。
本题选D。

5. 如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,AB= 6,DE= 4,AC= 9,则△ABC的面积为______.

答案： 30

【变式】如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,AD= 8,AB= 6. 若△ACD的面积为16,则△ABC的面积为______.
题图]

答案： 12

6. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且DF= DB. 求证:CF= EB.

答案： 证明：
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，$DE\perp AB$，$DC\perp AC$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以$DE = DC$。
在$Rt\triangle DCF$和$Rt\triangle DEB$中，
$\begin{cases}DF = DB,\\DC=DE.\end{cases}$
根据$HL$（斜边、直角边）定理，可得$Rt\triangle DCF\cong Rt\triangle DEB$。
由全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，
所以$CF = EB$。