《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

7. 如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等.若∠A= 60°,则∠BOC的度数为( )

A.150°
B.120°
C.110°
D.100°

答案： B

8. 如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥BC于点D.若△ABC的周长为10,OD= 1,则△ABC的面积为______.

答案： 5

9. 如图,BE是△ABC的角平分线,过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F,点D是BC边上一点,连接AD,DE,∠AEF= 50°,∠BAD= 100°.求证:DE平分∠ADC.

答案： 证明：
1. 过点E作EG⊥BC于点G，

∵BE是△ABC的角平分线，EF⊥AB，EG⊥BC，

∴EF=EG（角平分线上的点到角两边距离相等）。
2. 在Rt△AEF中，∠AFE=90°，∠AEF=50°，

∴∠EAF=90°-∠AEF=40°（直角三角形两锐角互余）。
3.
∵F在BA的延长线上，∠BAD=100°，

∴∠FAD=180°-∠BAD=80°（平角定义）。
4.
∵∠FAD=80°，∠EAF=40°，

∴∠DAE=∠FAD-∠EAF=40°，即∠FAE=∠DAE，

∴AE平分∠FAD（角平分线定义）。
5. 过点E作EH⊥AD于点H，

∵AE平分∠FAD，EF⊥AF，EH⊥AD，

∴EH=EF（角平分线上的点到角两边距离相等）。
6. 由1知EF=EG，
∴EH=EG（等量代换）。
7.
∵EH⊥AD，EG⊥DC，且EH=EG，

∴DE平分∠ADC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。

10. 已知C为射线AD上一点,∠DAP= ∠PBC,PA= PB,连接CP,BC.
(1)如图①,求证:CP平分∠DCB.
(2)如图②,AP与BC交于点M,若∠APB= 2∠CPA,求证:BM= AC+CM.

答案：
(1)过点P作PE⊥AD于E，PF⊥BC于F。
∵∠PEA=∠PFB=90°，∠DAP=∠PBC，PA=PB，
∴△PEA≌△PFB(AAS)，
∴PE=PF。
∵PE⊥CD，PF⊥BC，PE=PF，
∴CP平分∠DCB(角平分线的判定定理)。
(2)延长AC至点N，使CN=CM，连接PN。
∵CP平分∠DCB，
∴∠DCP=∠BCP，
∴∠NCP=∠MCP(等角的补角相等)。
在△NCP和△MCP中，CN=CM，∠NCP=∠MCP，CP=CP，
∴△NCP≌△MCP(SAS)，
∴PN=PM，∠NPC=∠MPC。
设∠CPA=α，则∠APB=2α，∠MPC=∠CPA=α，
∴∠NPC=α，∠APN=∠CPA+∠NPC=2α=∠APB。
在△APN和△BPM中，PA=PB，∠APN=∠APB，PN=PM，
∴△APN≌△BPM(SAS)，
∴AN=BM。
∵AN=AC+CN=AC+CM，
∴BM=AC+CM。