《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,点E在线段AD上.若∠EBC= 45°,则∠ACE的度数为______.

答案：
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC
∴∠BAC = 60°，AB = AC，∠BAD = ∠CAD = 30°
∵点E在AD上
∴∠EBC = 45°
∵AD⊥BC
∴∠ADB = 90°
∴∠BED = 45°
∴BD = ED
设等边三角形ABC的边长为2a
则BC = 2a，BD = ED = a
在Rt△ABD中
AB = 2a，BD = a
由勾股定理得AD = √3a
∴AE = √3a - a = (√3 - 1)a
在△ACE中
AC = 2a，AE = (√3 - 1)a，∠CAE = 30°
由余弦定理得
$CE^2 = AC^2 + AE^2 - 2\cdot AC\cdot AE\cdot\cos∠CAE$
$CE^2 = (2a)^2 + [(√3 - 1)a]^2 - 2\cdot 2a\cdot (√3 - 1)a\cdot\frac{√3}{2}$
$CE^2 = 4a^2 + (4 - 2√3)a^2 - 2(3 - √3)a^2$
$CE^2 = 2a^2$
$CE = √2a$
再由余弦定理得
$\cos∠ACE = \frac{AC^2 + CE^2 - AE^2}{2\cdot AC\cdot CE}$
$\cos∠ACE = \frac{(2a)^2 + (√2a)^2 - [(√3 - 1)a]^2}{2\cdot 2a\cdot √2a}$
$\cos∠ACE = \frac{√2}{2}$
∴∠ACE = 30° - 15° = 15°或∠ACE = 30° + 15° = 15°
∴∠ACE = 15°或∠ACE = 75° - 30° = 30° - 15° = 15°
∴∠ACE = 30° - 15° = 15°
故答案为：15°。

2. 如图,直线a//b,等边三角形ABC的顶点C在直线b上.若∠1= 40°,则∠2的度数为______.

答案：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°。
∵a//b，
∴∠1=∠AEC=40°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠ACB=∠AEC+∠2，
∴∠2=∠ACB - ∠AEC=60° - 40°=20°。
20°

3. 如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,CA的延长线上,且CD= AE,连接AD,BE.求证:∠D= ∠E.

答案：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠BAE=180°-∠BAC=120°，∠ACD=180°-∠ACB=120°，
∴∠BAE=∠ACD，
在△BAE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}AE=CD\\ \angle BAE=\angle ACD\\ AB=CA\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠E=∠D．

4. 如图,根据条件能判定下列三角形是等边三角形的是______.(填序号)

答案： ②

5. 如图,点P,M,N分别在等边三角形ABC的各边上,且MP⊥AB于点P,NM⊥BC于点M,PN⊥AC于点N,则△PMN的形状是______.

答案：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC。
∵MP⊥AB，NM⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°。
在Rt△BPM中，∠B=60°，
∴∠BMP=30°。
在Rt△CMN中，∠C=60°，
∴∠CNM=30°。
在Rt△ANP中，∠A=60°，
∴∠APN=30°。
∵∠BMC=180°，∠BMP=30°，∠NMC=90°，
∴∠PMN=180°-∠BMP-∠NMC=180°-30°-90°=60°。
同理，∠PNM=180°-∠CNM-∠ANP=180°-30°-90°=60°，
∠MPN=180°-∠APN-∠BPM=180°-30°-90°=60°。
∴∠PMN=∠PNM=∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形。
等边三角形

6. 如图,在△ABC中,∠ABC= ∠ACB,BD⊥AC于点D,E是BC边上一点,连接AE,交BD于点O,连接OC,DE,且OB= OC.
(1)求证:AE垂直平分BC.
(2)若∠BAC= 60°,求证:△CDE是等边三角形.

答案：
(1)证明：
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上．
∵OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上．
∵点A、O均在BC的垂直平分线上，
∴直线AO（即AE）垂直平分BC．
(2)证明：
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ACB=60°．
∵AE垂直平分BC，
∴E为BC中点，
∴CE=BC/2．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°．在Rt△BDC中，∠DBC=90°-∠ACB=30°，
∴DC=BC/2（30°角所对直角边等于斜边一半），
∴DC=CE．
∵E为BC中点，∠BDC=90°，
∴DE=BC/2（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴DE=DC=CE，
∴△CDE是等边三角形．