《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

7. 如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD= AE,AD与CE相交于点F,则∠DFC的度数为( )

A.30°
B.45°
C.60°
D.75°

答案： C

8. 如图,在等边三角形ABC和等边三角形CDE中,A,C,E三点共线,且AC= 3CE,连接AD,BE相交于点F.给出下列结论:①∠AFB= 60°;②连接FC,则FC平分∠AFE;③AF= 3EF;④BF= AF-CF.其中正确的有______个.

答案： 1. 设CE=x，则AC=3x，AB=BC=3x，CD=DE=CE=x，∠ACB=∠DCE=60°，A、C、E共线，故∠ACD=∠BCE=120°。
2. △BCE和△ACD中，BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），得∠CBE=∠CAD=α，∠BEC=∠ADC=β，且α+β=60°。
3. ①在△ABF中，∠FAB=60°+α，∠FBA=60°-α，∠AFB=180°-(60°+α)-(60°-α)=60°，①正确。
4. ②过C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，△BCE≌△ACD得面积相等，BE=AD，
∴CM=CN，FC平分∠AFE，②正确。
5. ③∠AFE=120°，FC平分∠AFE得∠AFC=∠EFC=60°，△AFC∽△EFC（AA），AF/EF=AC/CE=3，AF=3EF，③正确。
6. ④在AF上截FG=CF，∠AFC=60°得△CFG为等边三角形，CG=CF，∠ACG=∠BCF，△AGC≌△BFC（SAS），AG=BF，AF=BF+CF即BF=AF-CF，④正确。
正确结论有4个。
4

9. 如图,在等边三角形DEF中,点A,C分别在边DE,DF上,连接AC,以AC为边在△DEF内作等边三角形ABC,连接BF.若AE= 4,∠CFB= 30°,则CD的长为______.

答案： 2

10. 如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 120°,AD⊥BC,垂足为点G,且AD= AB,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF= 60°.求证:
(1)△ABD是等边三角形.
(2)BE= AF.

答案： （1）
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-120°)/2=30°。
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠BAD=∠BAC/2=60°。
∵AD=AB，
∴△ABD是等腰三角形，且∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形。
（2）
∵△ABD是等边三角形，
∴BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，∠BAD=60°。
∵AB=AC，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，
∴∠CAD=60°=∠ABD。
∵∠ADB=60°，∠EDF=60°，
∴∠ADB=∠EDF，即∠EDB+∠ADE=∠ADE+∠ADF，
∴∠EDB=∠ADF。
在△BDE和△ADF中，
∠EBD=∠FAD=60°，
BD=AD，
∠EDB=∠FDA，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF。

11. 在等边三角形ABC中,点D为AC的中点,点N在BC的延长线上,且∠MDN= 120°.
(1)如图①,若点M在边AB上,求证:DM= DN.
(2)如图②,若点M在边AB的延长线上,求证:BN-BM= BC+CD.

答案：
(1)证明：连接BD，作DF//AB交BC于F。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC。
∵D为AC中点，
∴AD=DC。
∵DF//AB，
∴∠DFC=∠ABC=60°，∠FDC=∠A=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DF=DC=FC，∠ADF=180°-∠A=120°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AD=DC，
∴AD=DF。
∵∠MDN=120°，
∴∠ADF=∠MDN，
∴∠ADM=∠FDN（等式性质）。
在△ADM和△FDN中，
∠A=∠DFN=60°，
AD=DF，
∠ADM=∠FDN，
∴△ADM≌△FDN（ASA），
∴DM=DN。
(2)证明：作DF//AB交BC延长线于F。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC=2CD（D为AC中点）。
∵DF//AB，
∴∠DFC=∠ABC=60°，∠DCF=∠ACB=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DF=DC=CF=CD，∠ADF=180°-∠A=120°。
∵∠MDN=120°，
∴∠ADF=∠MDN，
∴∠ADM=∠FDN（等式性质）。
∵AD=DC=DF，∠DAM=180°-∠BAC=120°，∠DFN=60°，
∴∠DAM=180°-∠DFN。
在△ADM和△FDN中，
∠ADM=∠FDN，
AD=DF，
∠DAM=∠DFN'（∠DFN'=180°-∠DFN=120°），
∴△ADM≌△FDN（ASA），
∴AM=FN。
∵AM=AB+BM=BC+BM，FN=BN-CF=BN-CD，
∴BC+BM=BN-CD，
∴BN-BM=BC+CD。