《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

模型1 倍长中线AD
条件:在△ABC中,AD是BC边的中线.


方法:延长AD到点E,使ED= AD,连接BE.
结论:△ACD≌△EBD.
模型2 倍长类中线DE
条件:在△ABC中,点D是BC边的中点.
方法:延长ED到点F,使DF= DE,连接CF.
结论:△BDE≌△CDF.

答案： 模型1 倍长中线AD
已知在$\triangle ABC$中，$AD$是$BC$边的中线，延长$AD$到点$E$，使$ED = AD$，连接$BE$。
证明：
因为$AD$是$BC$边的中线，所以$BD=CD$。
在$\triangle ACD$和$\triangle EBD$中：
$\begin{cases}CD = BD\\\angle ADC=\angle EDB\\AD = ED\end{cases}$
根据“边角边”（$SAS$）判定定理，可得$\triangle ACD\cong\triangle EBD$。
模型2 倍长类中线DE
已知在$\triangle ABC$中，点$D$是$BC$边的中点，延长$ED$到点$F$，使$DF = DE$，连接$CF$。
证明：
因为点$D$是$BC$边的中点，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDF$中：
$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDE=\angle CDF\\DE = DF\end{cases}$
根据“边角边”（$SAS$）判定定理，可得$\triangle BDE\cong\triangle CDF$。

1.(1)如图①,在△ABC中,AB= 10,AC= 6,求BC边上的中线AD的取值范围.解决问题可以用如下方法:延长AD到点E,使DE= AD,再连接BE,则构造出一对全等三角形为______,全等的依据为______,由全等的性质可推得AC= ______,这样就把AB,AC,2AD集中在同一个三角形中,利用三角形的三边关系即可求出中线AD的取值范围是______.
(2)如图②,在△ABC中,点D是BC的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,请参考(1)中的解答思路求证:BE+CF＞EF.

答案：
(1)
延长$AD$到点$E$，使$DE = AD$，连接$BE$。
因为$BD = CD$，$\angle ADC=\angle BDE$（对顶角相等），$AD = DE$，
所以$\triangle ADC\cong\triangle EDB(SAS)$。
由全等性质可得$AC = BE$。
在$\triangle ABE$中，根据三角形三边关系：$AB - BE\lt AE\lt AB + BE$，
即$AB - AC\lt 2AD\lt AB + AC$，
已知$AB = 10$，$AC = 6$，
所以$10 - 6\lt 2AD\lt 10 + 6$，
$4\lt 2AD\lt 16$，
$2\lt AD\lt 8$。
故答案依次为：$\triangle ADC\cong\triangle EDB$；$SAS$；$BE$；$2\lt AD\lt 8$。
(2)
延长$FD$到点$G$，使$DG = DF$，连接$BG$，$EG$。
因为$BD = CD$，$\angle BDG=\angle CDF$，$DG = DF$，
所以$\triangle BDG\cong\triangle CDF(SAS)$。
则$BG = CF$。
因为$DE\perp DF$，$DG = DF$，
所以$EG = EF$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在$\triangle BEG$中，根据三角形三边关系$BE + BG\gt EG$，
又因为$BG = CF$，$EG = EF$，
所以$BE + CF\gt EF$。

2.如图,在△ABC中,AF为BC边上的中线,点D在AF的延长线上,且AD= CA,AB= AE,∠BAC+∠DAE= 180°,线段DE与AF之间有何数量关系? 请说明理由.

答案： DE=2AF。理由如下：
延长AF至点G，使FG=AF，连接BG。
∵AF是BC边上的中线，
∴BF=CF。
在△BFG和△CFA中，
$\left\{\begin{array}{l} BF=CF \\ ∠BFG=∠CFA \\ FG=FA \end{array}\right.$
∴△BFG≌△CFA（SAS）。
∴BG=CA，∠G=∠CAF，∠FBG=∠FCA。
∵AD=CA，
∴BG=AD。
∵∠BAC+∠DAE=180°，且∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠DAE=∠ABC+∠ACB。
∵∠ABG=∠ABC+∠FBG=∠ABC+∠ACB，
∴∠ABG=∠DAE。
在△ABG和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=EA \\ ∠ABG=∠EAD \\ BG=AD \end{array}\right.$
∴△ABG≌△EAD（SAS）。
∴AG=DE。
∵AG=AF+FG=2AF，
∴DE=2AF。