《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

4. 如图,在四边形MNCB中,BD平分∠MBC,CD平分∠NCE,猜想∠D与∠BMN,∠CNM之间的数量关系,并说明理由.

答案： ∠D = $\frac{1}{2}(\angle BMN + \angle CNM) - 90^\circ$
理由如下：
设$\angle BMN = \alpha$，$\angle CNM = \beta$。
∵CD平分$\angle NCE$，
∴$\angle DCE = \frac{1}{2}\angle NCE$。
∵$\angle NCE = 180^\circ - \angle NCB$，
∴$\angle DCE = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle NCB) = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle NCB$。
∵BD平分$\angle MBC$，
∴$\angle DBC = \frac{1}{2}\angle MBC$。
在$\triangle DBC$中，$\angle DCE$是外角，
∴$\angle DCE = \angle D + \angle DBC$。
∴$\angle D = \angle DCE - \angle DBC = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle NCB - \frac{1}{2}\angle MBC = 90^\circ - \frac{1}{2}(\angle MBC + \angle NCB)$。
在四边形BMNC中，内角和为$360^\circ$，即$\angle MBC + \angle BMN + \angle CNM + \angle NCB = 360^\circ$。
∴$\angle MBC + \angle NCB = 360^\circ - \alpha - \beta$。
∴$\angle D = 90^\circ - \frac{1}{2}(360^\circ - \alpha - \beta) = \frac{1}{2}(\alpha + \beta) - 90^\circ$。
即$\angle D = \frac{1}{2}(\angle BMN + \angle CNM) - 90^\circ$。

5. 如图,在四边形ABCD中,BP平分∠EBC,CP平分∠FCB,探究∠P与∠BAD,∠ADC有何数量关系.

答案： ∠P = 180° - $\frac{1}{2}$(∠BAD + ∠ADC)
解题步骤：
1. 在四边形ABCD中，内角和为360°，即∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠ADC = 360°，故∠ABC + ∠BCD = 360° - (∠BAD + ∠ADC)。
2.
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，且∠EBC = 180° - ∠ABC，∠FCB = 180° - ∠BCD，

∴∠PBC = $\frac{1}{2}$∠EBC = 90° - $\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB = $\frac{1}{2}$∠FCB = 90° - $\frac{1}{2}$∠BCD。
3. 在△PBC中，∠P = 180° - (∠PBC + ∠PCB)，
代入∠PBC、∠PCB得：∠PBC + ∠PCB = 180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠BCD)。
4. 将∠ABC + ∠BCD = 360° - (∠BAD + ∠ADC)代入上式，得∠PBC + ∠PCB = $\frac{1}{2}$(∠BAD + ∠ADC)。
5. 故∠P = 180° - $\frac{1}{2}$(∠BAD + ∠ADC)。
结论： ∠P = 180° - $\frac{1}{2}$(∠BAD + ∠ADC)

6. 已知∠MON= 80°,点A,B在∠MON的两条边上运动,∠OAB与∠OBA的平分线交于点C.
(1)如图①,在点A,B的运动过程中,∠ACB的大小会变化吗?如果不会,求出∠ACB的度数;如果会,请说明理由.
(2)如图②,AD是∠BAM的平分线,AD的反向延长线交BC的延长线于点E,在点A,B的运动过程中,∠E的大小会变化吗?如果不会,求出∠E的度数;如果会,请说明理由.
(3)若∠MON= n°,则∠ACB= ______,∠E= ______. (用含n的式子表示)

答案：
(1)不会变化。
在△OAB中，∠O=80°，则∠OAB+∠OBA=180°-80°=100°。
∵AC平分∠OAB，BC平分∠OBA，
∴∠CAB=1/2∠OAB，∠CBA=1/2∠OBA。
∴∠CAB+∠CBA=1/2(∠OAB+∠OBA)=50°。
在△ACB中，∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA)=180°-50°=130°。
(2)不会变化。
设∠OAB=2x，∠OBA=2y，则2x+2y+80°=180°，即x+y=50°。
∵AC平分∠OAB，
∴∠CAB=x。
∵∠OAB+∠BAM=180°，
∴∠BAM=180°-2x。
∵AD平分∠BAM，
∴∠BAD=1/2∠BAM=90°-x。
∵∠BAD是△EAB的外角，
∴∠BAD=∠E+∠EBA。
又∠EBA=∠CBA=y，
∴∠E=∠BAD-∠EBA=(90°-x)-y=90°-(x+y)=90°-50°=40°。
(3)90°+n°/2；n°/2。