《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

模型1 形状相同


条件:$AB= DE,AC= DF,∠B= ∠E.$
方法:过点A作$AM⊥BC$于点M,过点D作$DN⊥EF$于点N.
结论:$△ABM\cong △DEN,△ACM\cong △DFN,△ABC\cong △DEF.$

答案： 模型1 形状相同
已知$AB = DE$，$AC = DF$，$\angle B = \angle E$。
过点$A$作$AM\perp BC$于点$M$，过点$D$作$DN\perp EF$于点$N$。
在$Rt\triangle ABM$和$Rt\triangle DEN$中，$\begin{cases}\angle AMB=\angle DNE = 90^{\circ}\\\angle B=\angle E\\AB = DE\end{cases}$
根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle ABM\cong\triangle DEN$。
所以$AM = DN$，$BM = EN$。
在$Rt\triangle ACM$和$Rt\triangle DFN$中，$\begin{cases}AM = DN\\AC = DF\end{cases}$
根据$HL$（斜边直角边）定理可得$\triangle ACM\cong\triangle DFN$。
所以$CM = FN$。
因为$BC=BM + CM$，$EF=EN + FN$，$BM = EN$，$CM = FN$，所以$BC = EF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\begin{cases}AB = DE\\\angle B=\angle E\\BC = EF\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
模型2 形状不同
已知$AB = DE$，$AC = DF$，$\angle B=\angle E$。
过点$A$作$AM\perp BC$于点$M$，过点$D$作$DN\perp EF$交$EF$的延长线于点$N$。
在$Rt\triangle ABM$和$Rt\triangle DEN$中，$\begin{cases}\angle AMB=\angle DNE = 90^{\circ}\\\angle B=\angle E\\AB = DE\end{cases}$
根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle ABM\cong\triangle DEN$。
所以$AM = DN$。
在$Rt\triangle ACM$和$Rt\triangle DFN$中，$\begin{cases}AM = DN\\AC = DF\end{cases}$
根据$HL$（斜边直角边）定理可得$\triangle ACM\cong\triangle DFN$。

模型2 形状不同
条件:$AB= DE,AC= DF,∠B= ∠E.$
方法:过点A作$AM⊥BC$于点M,过点D作$DN⊥$EF交EF的延长线于点N.
结论:$△ABM\cong △DEN,△ACM\cong △DFN.$

答案： 1. 证明△ABM≌△DEN：
∵AM⊥BC，DN⊥EF延长线，
∴∠AMB=∠DNE=90°。
在△ABM和△DEN中，
∠AMB=∠DNE，
∠B=∠E，
AB=DE，
∴△ABM≌△DEN（AAS）。
2. 证明△ACM≌△DFN：
由△ABM≌△DEN得AM=DN。
在Rt△ACM和Rt△DFN中，
AC=DF，
AM=DN，
∴Rt△ACM≌Rt△DFN（HL）。

1.我们知道如果两个三角形的两边及其中一边的对角分别相等,那么这两个三角形不一定全等.
(1)如果这两个三角形都是直角三角形,如图①,在$△ABC和△DEF$中,$AB= DE,AC= DF,∠C= ∠F= 90^{\circ }$,判断$△ABC与△DEF$是否全等,并证明.
(2)如果这两个三角形都是锐角三角形,如图②,在锐角三角形ABC和锐角三角形DEF中,$AB= DE,AC= DF,∠B= ∠E$,判断$△ABC与△DEF$是否全等,并证明.
(3)如果这两个三角形都是钝角三角形,且这两个三角形的两边及其中一边的对角分别相等,那么这两个钝角三角形全等吗？请直接给出结论,不必证明.

答案：
(1)全等。证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。
(2)全等。证明：过点A作AG⊥BC于G，过点D作DH⊥EF于H。
∵△ABC和△DEF都是锐角三角形，
∴AG、DH在三角形内部。在Rt△ABG和Rt△DEH中，∠AGB=∠DHE=90°，∠B=∠E，AB=DE，
∴△ABG≌△DEH（AAS），
∴AG=DH，BG=EH。在Rt△AGC和Rt△DHF中，∠AGC=∠DHF=90°，AC=DF，AG=DH，
∴△AGC≌△DHF（HL），
∴CG=FH。
∴BC=BG+GC=EH+HF=EF。在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）。
(3)全等。

2.如图,在$△ABC$中,$AB= AC,AD⊥BC$于点D,点E为AD上一点,点F为BA的延长线上一点,连接EF,EC,且$EF= EC$.求证:$∠F= ∠ACE$.

答案： 证明：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一）。
∵点E在AD上，
∴EB=EC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵EF=EC（已知），
∴EB=EF（等量代换）。
∴∠F=∠EBF（等边对等角），即∠F=∠EBA。
在△ABE和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC\\ AE=AE\\ EB=EC\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ACE（SSS）。
∴∠EBA=∠ACE（全等三角形对应角相等）。
∵∠F=∠EBA，
∴∠F=∠ACE（等量代换）。
结论：∠F=∠ACE。