《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 在$Rt\triangle ACB$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= BC$,点$E为BC$上一动点,连接$AE$,过点$A作AF\perp AE且AF= AE$.
(1)如图①,过点$F作FG\perp AC于点G$,求证:$AG= EC$.
(2)如图②,连接$BF交AC于点D$.若$AD= 3CD$,求证:点$E为BC$的中点.

答案：
(1)证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=90°．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAG+∠CAE=90°．
∵∠ACE=90°，
∴∠CAE+∠AEC=90°，
∴∠FAG=∠AEC．
∵FG⊥AC，
∴∠AGF=90°=∠ACE．
在△AFG和△EAC中，
$\begin{cases} ∠AGF=∠ECA \\ ∠FAG=∠AEC \\ AF=EA \end{cases}$，
∴△AFG≌△EAC(AAS)，
∴AG=EC．
(2)证明：
过点F作FG⊥AC，交AC于点G．
由
(1)得△AFG≌△EAC，
∴AG=EC，FG=AC．
∵AC=BC，
∴FG=BC．
∵∠ACB=90°，FG⊥AC，
∴∠FGD=∠BCD=90°．
在△FGD和△BCD中，
$\begin{cases} ∠FGD=∠BCD \\ ∠FDG=∠BDC \\ FG=BC \end{cases}$，
∴△FGD≌△BCD(AAS)，
∴GD=CD．
设CD=x，则AD=3x，AC=AD+CD=4x，
∴BC=AC=4x．
∵GD=CD=x，
∴AG=AC-GD-CD=4x-x-x=2x．
∵AG=EC，
∴EC=2x，
∴EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴点E为BC的中点．

2. 如图,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$\angle BAC= \angle DAE= 90^{\circ}$,$AB= AC$,$AD= AE$,连接$BE$,$CD$,过点$A作AM\perp CD于点M$,延长$MA交BE于点N$.求证:点$N是BE$的中点.(用两种方法证明)

答案： 方法一
1. 证△ADC≌△AEB：

∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD，即∠DAC=∠EAB。
在△ADC和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l} AC=AB \\ ∠DAC=∠EAB \\ AD=AE \end{array}\right.$，

∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴∠ACD=∠ABE，∠ADC=∠AEB。
2. 证∠ABN=∠BAN：

∵AM⊥CD，
∴∠AMC=90°，
∴∠ACD+∠CAM=90°。

∵∠BAC=90°，
∴∠BAN+∠CAM=90°，
∴∠ACD=∠BAN。
又∠ACD=∠ABE，
∴∠ABE=∠BAN，即∠ABN=∠BAN。

∴AN=BN（等角对等边）。
3. 证∠AEN=∠EAN：

∵AM⊥CD，
∴∠AMD=90°，
∴∠ADC+∠DAM=90°。

∵∠DAE=90°，
∴∠DAM+∠MAE=90°，
∴∠ADC=∠MAE。
又∠ADC=∠AEB，
∴∠AEB=∠MAE，即∠AEN=∠EAN。

∴AN=EN（等角对等边）。
4. 结论：
∵AN=BN且AN=EN，
∴BN=EN，即N是BE的中点。
方法二
1. 作辅助线：过点B作BP⊥AN于P，过点E作EQ⊥AN于Q。
2. 证△ABP≌△CAM：

∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=90°。

∵AM⊥CD，
∴∠AMC=90°，
∴∠ACD+∠CAP=90°，
∴∠BAP=∠ACD。
在△ABP和△CAM中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BPA=∠CMA=90° \\ ∠BAP=∠ACD \\ AB=AC \end{array}\right.$，

∴△ABP≌△CAM（AAS），
∴BP=AM。
3. 证△AEQ≌△DAM：

∵∠DAE=90°，
∴∠EAQ+∠DAQ=90°。

∵AM⊥CD，
∴∠AMD=90°，
∴∠ADM+∠DAQ=90°，
∴∠EAQ=∠ADM。
在△AEQ和△DAM中，$\left\{\begin{array}{l} ∠EQA=∠AMD=90° \\ ∠EAQ=∠ADM \\ AE=AD \end{array}\right.$，

∴△AEQ≌△DAM（AAS），
∴EQ=AM。
4. 证△BPN≌△EQN：

∵BP=AM且EQ=AM，
∴BP=EQ。
在△BPN和△EQN中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BPN=∠EQN=90° \\ ∠BNP=∠ENQ \\ BP=EQ \end{array}\right.$，

∴△BPN≌△EQN（AAS），
∴BN=EN。
5. 结论：N是BE的中点。